Definiția mulțimii numerelor reale
Ce este mulțimea numerelor reale?
Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este uniunea dintre numerele raționale $\mathbb{Q}$ și iraționale $\mathbb{I}$:
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$
Fiecare punct de pe axa numerică corespunde unui număr real și invers. Aceasta include toate numerele care pot fi reprezentate pe o dreaptă continuă.
Submulțimile principale ale mulțimii numerelor reale
Care sunt submulțimile principale ale mulțimii numerelor reale?
Submulțimile principale ale $\mathbb{R}$ sunt:
1. $\mathbb{N}$: numere naturale
2. $\mathbb{Z}$: numere întregi
3. $\mathbb{Q}$: numere raționale
4. $\mathbb{I}$: numere iraționale
Relația: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ și $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$
Aceasta ilustrează structura ierarhică a numerelor reale.
Definiția și reprezentarea numerelor raționale
Ce sunt numerele raționale și cum pot fi reprezentate?
Numerele raționale sunt exprimate ca raport între două întregi:
$q = \frac{a}{b}$, unde $a, b \in \mathbb{Z}$ și $b \neq 0$
Exemple: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{5}{3}$, $2.75 = \frac{11}{4}$
Acestea includ toate fracțiile și zecimalele finite sau periodice.
Definiția și exemple de numere iraționale
Ce sunt numerele iraționale și cum pot fi recunoscute?
Numerele iraționale sunt reale ce nu pot fi exprimate ca fracții:
1. $\sqrt{2}$ ≈ 1.4142135...
2. $\pi$ ≈ 3.14159...
3. $e$ ≈ 2.71828...
4. Numărul de aur $\phi$ ≈ 1.61803...
Acestea au zecimale infinite și neperiodice, neputând fi scrise exact ca fracții zecimale finite sau periodice.
Proprietățile fundamentale ale mulțimii numerelor reale
Care sunt proprietățile fundamentale ale mulțimii numerelor reale?
Proprietățile fundamentale ale $\mathbb{R}$ includ:
1. Închidere la adunare și înmulțire
2. Comutativitate
3. Asociativitate
4. Elemente neutre (0 și 1)
5. Inverse aditive și multiplicative
6. Distributivitate
7. Ordonare
8. Completitudine
Aceste proprietăți definesc structura algebrică și topologică a numerelor reale.
Valoarea absolută și proprietățile ei
Ce este valoarea absolută a unui număr real și care sunt proprietățile ei?
Valoarea absolută $|x|$ este distanța de la $x$ la 0 pe axa reală.
Definiție: $|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0
-x, & x < 0 \end{cases}$
Proprietăți cheie:
1. $|x| \geq 0$
2. $|x| = |-x|$
3. $|xy| = |x||y|$
4. $|x+y| \leq |x|+|y|$
Acestea sunt esențiale în analiză și geometrie.
Definiția și reprezentarea numerelor naturale
Ce sunt numerele naturale și cum pot fi reprezentate?
Numerele naturale $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ sunt folosite pentru numărare.
Caracteristici:
1. Mulțime infinită
2. Are cel mai mic element (1)
3. Închisă la adunare și înmulțire
4. Bază pentru inducția matematică
Notă: Uneori 0 e inclus, notându-se $\mathbb{N}_0$ sau $\mathbb{N} \cup \{0\}$.
Definiția și reprezentarea numerelor întregi
Ce sunt numerele întregi și cum pot fi reprezentate?
Numerele întregi $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ includ negative, zero și pozitive.
Caracteristici:
1. Infinită în ambele direcții
2. Închisă la adunare, scădere, înmulțire
3. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
4. Partiții: $\mathbb{Z}^-$, $\{0\}$, $\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}$
Extinde $\mathbb{N}$ pentru a include operații inverse.