8 Definiții pentru numere reale disponibile

Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este uniunea dintre numerele raționale $\mathbb{Q}$ și iraționale $\mathbb{I}$:
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$
Fiecare punct de pe axa numerică corespunde unui număr real și invers. Aceasta include toate numerele care pot fi reprezentate pe o dreaptă continuă.

Submulțimile principale ale $\mathbb{R}$ sunt:
1. $\mathbb{N}$: numere naturale
2. $\mathbb{Z}$: numere întregi
3. $\mathbb{Q}$: numere raționale
4. $\mathbb{I}$: numere iraționale
Relația: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ și $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$
Aceasta ilustrează structura ierarhică a numerelor reale.

Numerele raționale sunt exprimate ca raport între două întregi:
$q = \frac{a}{b}$, unde $a, b \in \mathbb{Z}$ și $b \neq 0$
Exemple: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{5}{3}$, $2.75 = \frac{11}{4}$
Acestea includ toate fracțiile și zecimalele finite sau periodice.

Numerele iraționale sunt reale ce nu pot fi exprimate ca fracții:
1. $\sqrt{2}$ ≈ 1.4142135...
2. $\pi$ ≈ 3.14159...
3. $e$ ≈ 2.71828...
4. Numărul de aur $\phi$ ≈ 1.61803...
Acestea au zecimale infinite și neperiodice, neputând fi scrise exact ca fracții zecimale finite sau periodice.

Proprietățile fundamentale ale $\mathbb{R}$ includ:
1. Închidere la adunare și înmulțire
2. Comutativitate
3. Asociativitate
4. Elemente neutre (0 și 1)
5. Inverse aditive și multiplicative
6. Distributivitate
7. Ordonare
8. Completitudine
Aceste proprietăți definesc structura algebrică și topologică a numerelor reale.

Valoarea absolută $|x|$ este distanța de la $x$ la 0 pe axa reală.
Definiție: $|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0
-x, & x < 0 \end{cases}$
Proprietăți cheie:
1. $|x| \geq 0$
2. $|x| = |-x|$
3. $|xy| = |x||y|$
4. $|x+y| \leq |x|+|y|$
Acestea sunt esențiale în analiză și geometrie.

Numerele naturale $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ sunt folosite pentru numărare.
Caracteristici:
1. Mulțime infinită
2. Are cel mai mic element (1)
3. Închisă la adunare și înmulțire
4. Bază pentru inducția matematică
Notă: Uneori 0 e inclus, notându-se $\mathbb{N}_0$ sau $\mathbb{N} \cup \{0\}$.

Numerele întregi $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ includ negative, zero și pozitive.
Caracteristici:
1. Infinită în ambele direcții
2. Închisă la adunare, scădere, înmulțire
3. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
4. Partiții: $\mathbb{Z}^-$, $\{0\}$, $\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}$
Extinde $\mathbb{N}$ pentru a include operații inverse.