13 Definiții pentru proporții disponibile

Un raport este o comparație între două mărimi de aceeași natură. Matematic, se exprimă ca $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt măsurate în aceeași unitate. Raportul este un număr care indică de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă.

O proporție este o egalitate între două rapoarte: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ Termenii: - $a$ și $d$: extremi - $b$ și $c$: mezi Proporțiile sunt fundamentale în matematică, fiind utilizate în diverse domenii pentru a exprima relații de echivalență între rapoarte.

Proprietatea fundamentală a proporției stabilește că: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ Aceasta înseamnă că produsul mezilor ($b \cdot c$) este egal cu produsul extremilor ($a \cdot d$). Această proprietate este esențială pentru rezolvarea ecuațiilor cu proporții.

Când $b = c$ într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: 1. $b^2 = a \cdot d$ 2. $b = \sqrt{a \cdot d}$, $a > 0$, $b > 0$ 3. $b$ este media geometrică a lui $a$ și $d$ Aceasta arată legătura între proporții și media geometrică.

Proporții derivate cu aceiași termeni: 1. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ 2. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{a} = \frac{b}{c}$ Inversa unei proporții este tot o proporție. Aceste proprietăți sunt utile în manipularea și rezolvarea ecuațiilor cu proporții.

Proporții derivate cu termeni schimbați: 1. $\frac{a \pm k \cdot b}{b} = \frac{c \pm k \cdot d}{d}$ 2. $\frac{a}{a \pm k \cdot b} = \frac{c}{c \pm k \cdot d}$ 3. $\frac{a \pm k \cdot c}{b \pm k \cdot d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 4. $\frac{a + k \cdot b}{a - k \cdot b} = \frac{c + k \cdot d}{c - k \cdot d}$ Aceste proprietăți extind aplicabilitatea proporțiilor.

Un șir de rapoarte egale se exprimă ca: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3}$ Aceasta arată că suma numeratorilor împărțită la suma numitorilor este egală cu oricare dintre rapoartele individuale din șir.

Pentru a afla un termen necunoscut x în proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: 1. x ca numărător: $x = \frac{b \cdot c}{d}$ 2. x ca numitor: $x = \frac{a \cdot d}{c}$ 3. x în al doilea raport: $x = \frac{b \cdot c}{a}$ sau $x = \frac{a \cdot d}{b}$ Regulă: extrem = $\frac{\text{produsul mezilor}}{\text{celălalt extrem}}$, mez = $\frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}}$

Proporționalitatea directă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = ... = \frac{z}{z'} = p$ Unde $p$ este coeficientul de proporționalitate. Aceasta înseamnă că raportul între elementele corespunzătoare este constant.

Proporționalitatea inversă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă: $a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = ... = z \cdot z'$ Aceasta înseamnă că produsul elementelor corespunzătoare este constant. Pe măsură ce o mărime crește, cealaltă scade proporțional.

Regula de trei simplă pentru mărimi direct proporționale: Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$ Soluție: $\frac{a}{c} = \frac{b}{x} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}$ Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate directă.

Regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale: Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$ Soluție: $c \cdot x = a \cdot b \Rightarrow x = \frac{a \cdot b}{c}$ Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate inversă.

Regula de trei compusă se aplică când avem: 1. 3+ mulțimi de elemente 2. Fiecare mulțime are 2 elemente cunoscute, exceptând una cu un element cunoscut și unul necunoscut 3. Se rezolvă aplicând succesiv regula de trei simplă Aceasta este utilă în probleme complexe cu multiple variabile proporționale.