Definiția raportului între două mărimi
Ce este un raport?
Un raport este o comparație între două mărimi de aceeași natură. Matematic, se exprimă ca $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt măsurate în aceeași unitate. Raportul este un număr care indică de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă.
Definiția proporției și termenii acesteia
Ce este o proporție?
O proporție este o egalitate între două rapoarte: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Termenii:
- $a$ și $d$: extremi
- $b$ și $c$: mezi
Proporțiile sunt fundamentale în matematică, fiind utilizate în diverse domenii pentru a exprima relații de echivalență între rapoarte.
Proprietatea fundamentală a proporției
Care este proprietatea fundamentală a proporției?
Proprietatea fundamentală a proporției stabilește că:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$
Aceasta înseamnă că produsul mezilor ($b \cdot c$) este egal cu produsul extremilor ($a \cdot d$). Această proprietate este esențială pentru rezolvarea ecuațiilor cu proporții.
Relația între termenii unei proporții când mezii sunt egali
Ce relație există între termenii unei proporții dacă $b = c$?
Când $b = c$ într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$:
1. $b^2 = a \cdot d$
2. $b = \sqrt{a \cdot d}$, $a > 0$, $b > 0$
3. $b$ este media geometrică a lui $a$ și $d$
Aceasta arată legătura între proporții și media geometrică.
Proporții derivate cu aceiași termeni
Care sunt proporțiile derivate cu aceiași termeni?
Proporții derivate cu aceiași termeni:
1. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
2. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{a} = \frac{b}{c}$
Inversa unei proporții este tot o proporție. Aceste proprietăți sunt utile în manipularea și rezolvarea ecuațiilor cu proporții.
Proporții derivate cu termeni schimbați
Care sunt proporțiile derivate cu termeni schimbați?
Proporții derivate cu termeni schimbați:
1. $\frac{a \pm k \cdot b}{b} = \frac{c \pm k \cdot d}{d}$
2. $\frac{a}{a \pm k \cdot b} = \frac{c}{c \pm k \cdot d}$
3. $\frac{a \pm k \cdot c}{b \pm k \cdot d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
4. $\frac{a + k \cdot b}{a - k \cdot b} = \frac{c + k \cdot d}{c - k \cdot d}$
Aceste proprietăți extind aplicabilitatea proporțiilor.
Definiția și expresia matematică a unui șir de rapoarte egale
Ce este un șir de rapoarte egale?
Un șir de rapoarte egale se exprimă ca:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3}$
Aceasta arată că suma numeratorilor împărțită la suma numitorilor este egală cu oricare dintre rapoartele individuale din șir.
Metode de aflare a unui termen necunoscut într-o proporție
Cum se află un termen necunoscut al unei proporții?
Pentru a afla un termen necunoscut x în proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$:
1. x ca numărător: $x = \frac{b \cdot c}{d}$
2. x ca numitor: $x = \frac{a \cdot d}{c}$
3. x în al doilea raport: $x = \frac{b \cdot c}{a}$ sau $x = \frac{a \cdot d}{b}$
Regulă: extrem = $\frac{\text{produsul mezilor}}{\text{celălalt extrem}}$, mez = $\frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}}$
Definiția proporționalității directe
Ce este proporționalitatea directă?
Proporționalitatea directă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă:
$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = ... = \frac{z}{z'} = p$
Unde $p$ este coeficientul de proporționalitate. Aceasta înseamnă că raportul între elementele corespunzătoare este constant.
Definiția proporționalității inverse
Ce este proporționalitatea inversă?
Proporționalitatea inversă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă:
$a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = ... = z \cdot z'$
Aceasta înseamnă că produsul elementelor corespunzătoare este constant. Pe măsură ce o mărime crește, cealaltă scade proporțional.
Aplicarea regulii de trei simplă pentru mărimi direct proporționale
Cum se aplică regula de trei simplă pentru mărimi direct proporționale?
Regula de trei simplă pentru mărimi direct proporționale:
Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$
Soluție: $\frac{a}{c} = \frac{b}{x} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}$
Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate directă.
Aplicarea regulii de trei simplă pentru mărimi invers proporționale
Cum se aplică regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale?
Regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale:
Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$
Soluție: $c \cdot x = a \cdot b \Rightarrow x = \frac{a \cdot b}{c}$
Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate inversă.
Definiția și aplicarea regulii de trei compusă
Ce este regula de trei compusă și când se aplică?
Regula de trei compusă se aplică când avem:
1. 3+ mulțimi de elemente
2. Fiecare mulțime are 2 elemente cunoscute, exceptând una cu un element cunoscut și unul necunoscut
3. Se rezolvă aplicând succesiv regula de trei simplă
Aceasta este utilă în probleme complexe cu multiple variabile proporționale.