Progresii aritmetice și geometrice: concepte fundamentale și proprietăți
Descoperă tot ce trebuie să știi despre progresiile aritmetice și geometrice. Învață formulele importante, proprietățile și aplicațiile acestora în probleme practice.
De invatat in continuare
Comparație Medii Matematice: Tot ce trebuie să știi
O sinteză a tuturor tipurilor de medii matematice, cu comparații, proprietăți și aplicații specifice. Explorează diferențele dintre mediile aritmetică, geometrică, armonică, ponderată și pătratică.
Inegalitatea mediilor aritmetice și geometrice: Tot ce trebuie să știi
Descoperă cum să compari mediile aritmetice și geometrice folosind una dintre cele mai importante inegalități din matematică. Află cum să aplici această inegalitate în probleme practice și să o demonstrezi.
Progresiile aritmetice și geometrice sunt tipuri speciale de șiruri care apar frecvent în matematică și în aplicații practice. Să le explorăm pe rând și să înțelegem proprietățile lor fundamentale.
Progresii aritmetice
Ce este o progresie aritmetică?
O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă. Matematic, acest lucru se exprimă astfel:
Numărul
Proprietăți fundamentale
-
Proprietatea mediei aritmetice:
$$a_{n-1} + a_{n+1} = 2a_n, \forall n \in \mathbb{N}$$ -
Formula termenului general:
$$a_n = a_1 + (n-1)r, \forall n \geq 2$$ -
Proprietatea termenilor echidistanți de extremi:
$$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots = a_p + a_{n-p+1}$$ -
Suma primilor n termeni:
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{[2a_1 + (n-1)r] \cdot n}{2}$$
Progresii geometrice
Ce este o progresie geometrică?
O progresie geometrică este un șir în care raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant. Formal:
Numărul
Proprietăți fundamentale
-
Proprietatea mediei geometrice:
$$b_{n-1} \cdot b_{n+1} = b_n^2, \forall n \in \mathbb{N}$$ -
Formula termenului general:
$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, \forall n \geq 2$$ -
Proprietatea termenilor echidistanți de extremi:
$$b_1 \cdot b_n = b_2 \cdot b_{n-1} = b_3 \cdot b_{n-2} = \ldots = b_p \cdot b_{n-p+1}$$ -
Suma primilor n termeni:
$$S_n = \begin{cases} b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, & \text{dacă } q \neq 1 \\ b_1 \cdot n, & \text{dacă } q = 1 \end{cases}$$
Exemple practice
Progresie aritmetică
- Șirul numerelor naturale: 1, 2, 3, 4, 5, ... (
$r = 1$ ) - Numerele pare: 2, 4, 6, 8, ... (
$r = 2$ ) - Numere negative cu pasul -3: 0, -3, -6, -9, ... (
$r = -3$ )
Progresie geometrică
- Puterile lui 2: 1, 2, 4, 8, 16, ... (
$q = 2$ ) - Înjumătățiri succesive: 1000, 500, 250, 125, ... (
$q = \\frac{1}{2}$ )
Aplicații în viața reală
Progresii aritmetice
- Creșterea liniară a salariului
- Numerotarea locurilor într-o sală
- Distanțe egale între obiecte
Progresii geometrice
- Dobânda compusă
- Creșterea populației
- Divizarea celulelor
- Inflația/deflația
Exerciții propuse
-
Calculați suma primilor 100 de numere naturale folosind formula pentru progresii aritmetice.
-
Într-o progresie geometrică, primul termen este 3 și al treilea termen este 27. Care este rația?
-
O bacterie se divide la fiecare oră. Câte bacterii vor fi după 24 de ore?
De reținut
- În progresiile aritmetice, diferența dintre termeni este constantă
- În progresiile geometrice, raportul dintre termeni este constant
- Fiecare tip de progresie are formule specifice pentru:
- Termenul general
- Suma primilor n termeni
- Relații între termeni
Verifică-ți cunoștințele
- Care este diferența fundamentală dintre o progresie aritmetică și una geometrică?
- Cum poți recunoaște rapid dacă un șir este o progresie aritmetică?
- De ce formula sumei într-o progresie geometrică are două cazuri diferite?
Reține mai ușor toate formulele legate de progresii
Folosește memoratorul nostru pentru a exersa și a reține mai ușor toate formulele și proprietățile progresiilor.
Nu există flashcard-uri disponibile!
Nu ai niciun flashcard de repetat.