Reguli de derivare: Tot ce trebuie să știi

Ai observat vreodată cum se schimbă viteza unei mașini?

Sau cum variază temperatura pe parcursul zilei?

Derivatele ne ajută să înțelegem exact aceste tipuri de schimbări!

Ce este de fapt o Derivată?

O derivată este rata de schimbare a unei funcții într-un punct.

Ne arată "cât de repede" se modifică o mărime

Dacă ar fi să o reprezentăm geometric, derivata reprezintă panta tangentei la grafic în acel punct

Pentru o funcție $$f$$, derivata se notează cu:

• $$f'(x)$$ (notația cea mai simplă)
• $$\frac{d}{dx}f(x)$$ (notația formală)
• $$\frac{df}{dx}$$ (notația compactă)

Regulile de Derivare

Derivata Funcției Constante

Derivata unei constante este 0: Dacă avem $$f(x) = c$$, atunci $$f'(x) = 0$$

Exemplu din viața reală:

• Când mergi cu viteză constantă de 50 km/h, accelerația (care este derivata vitezei) este 0.

Derivata Funcției de Gradul I

Pentru $$f(x) = ax + b$$ avem: $$f'(x) = a$$

Exemplu practic:

Într-un bazin care se umple uniform:

• Volumul apei: $$V(t) = 5t + 10$$ litri
• Rata de umplere (derivata): $$V'(t) = 5$$ litri/minut

Derivata Funcției de Gradul II

Pentru $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ avem: $$f'(x) = 2ax + b$$

Aplicație în fizică:

În căderea liberă:

• Distanța: $$s(t) = \frac{1}{2}gt^2$$
• Viteza: $$v(t) = gt$$ (derivata întâi)
• Accelerația: $$a(t) = g$$ (derivata a doua)

Regula Sumei/Diferenței

Derivata unei sume este suma derivatelor: $$(f \pm g)' = f' \pm g'$$

Exemplu din economie:

Profit = Venituri - Cheltuieli

• Dacă $$V(x) = 3x^2 + 2x$$ și $$C(x) = x^2 + 5$$
• Atunci $$P'(x) = V'(x) - C'(x) = (6x + 2) - (2x) = 4x + 2$$

Regula Produsului

Pentru produsul a două funcții:

Cum să reții: "Primul derivat × al doilea normal + primul normal × al doilea derivat"

Exemplu practic:

Aria unui dreptunghi cu dimensiuni variabile:

• $$A(t) = l(t) \cdot L(t)$$
• $$A'(t) = l'(t)L(t) + l(t)L'(t)$$

Regula Câtului

Pentru împărțirea a două funcții: $$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Exemplu din chimie:

Concentrația unei soluții: $$C(t) = \frac{m_s(t)}{m_s(t) + m_d(t)}$$

Regula Compunerii Funcțiilor

Pentru $$f(g(x))$$ avem: $$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \times g'(x)$$

Exemplu:

Gândește-te la un lanț de metal:

• Tragi de un capăt
• Mișcarea se propagă prin toate zalele
• Fiecare za contribuie la mișcarea finală

Exemple Rezolvate

Derivata unei Funcții Simple

Calculează derivata funcției $$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$$

Rezolvare:

1. Aplicăm regula sumei/diferenței 2. Derivăm fiecare termen:

• $$(3x^2)' = 6x$$
  (aplicămregula puterii)
• $$(-2x)' = -2$$
  (obținem o funcție de grad 1)
• $$1' = 0$$
  (obținem o constantă)

3. Rezultat:

Regula Produsului

Derivează $$f(x) = (x^2 + 1)(x - 2)$$

Rezolvare:

1. Identificăm:

• $$g(x) = x^2 + 1$$ și $$h(x) = x - 2$$

2. Calculăm derivatele:

• $$g'(x) = 2x$$
• $$h'(x) = 1$$

3. Aplicăm formula:

• $$f'(x) = (2x)(x-2) + (x^2+1)(1)$$
• $$f'(x) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1$$
• $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$

Greșeli Frecvente

La Regula Produsului

❌ Greșit: $$(fg)' = f'g'$$ ✅ Corect: $$(fg)' = f'g + fg'$$

De ce e greșit?

Verifică cu un exemplu simplu:

$$(x^2 \times x)'$$:

• Greșit: $$2x \times 1 = 2x$$
• Corect: $$2x \times x + x^2 \times 1 = 3x^2$$

La Compunerea Funcțiilor

❌ Greșit: $$[f(g(x))]' = f'(x)g'(x)$$

✅ Corect: $$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)$$

IMPORTANT:

Asigură-te că evaluezi $$f'$$ în punctul $$g(x)$$, nu în $$x$$!

Derivate în viața reală

Fizică

• Viteza = derivata poziției
• Accelerația = derivata vitezei
• Puterea = derivata lucrului mecanic

Economie

• Costul marginal = derivata funcției de cost
• Venitul marginal = derivata funcției de venit
• Profitul marginal = derivata funcției de profit

Biologie

• Rata de creștere a unei populații
• Viteza de reacție a unei enzime
• Rata de absorbție a nutrienților

Exerciții Practice

Mai jos ai câteva exerciții pe care le poți rezolva pentru a te verifica că ai înțeles conceptele de bază.

1. Derivează $$f(x) = 5x^3 - 2x + 7$$
2. Află $$\frac{d}{dx}(x^2 + 3x)$$
3. Calculează derivata $$f(x) = \frac{1}{x}$$
4. Derivează $$f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2)$$
5. Află $$\frac{d}{dx}(\frac{x^2 + 1}{x - 2})$$
6. Calculează $$[e^{x^2}]'$$
7. Derivează $$f(x) = x^2\sin(x)$$
8. Află $$\frac{d}{dx}[\ln(x^2 + 1)]$$
9. Calculează $$[\sin^2(x)]'$$

Asigură-te că ai înțeles

1. De ce derivata unei constante este zero? Răspuns:
   Derivata unei constante este 0, pentru că nu se schimbă.
2. Care este diferența dintre $$\frac{d}{dx}(x^2 + 1)$$ și $$\frac{d}{dx}(x^2) + 1$$? Răspuns:
   Prima este 2x, a doua este 2
3. Cum se aplică regula lanțului la $$f(x) = \sin(x^2)$$? Răspuns:
   Se derivează mai întâi $$\sin(x)$$ apoi $$x^2$$