Segment de dreaptă orientat cu proprietăți specifice
Ce este un vector în fizică?
Un vector este un segment de dreaptă orientat, caracterizat prin: punct de aplicație, direcție, sens și modul.
Notația matematică este $\overrightarrow{AB}$ sau $\vec{v}$.
Vectorul reprezintă cantități fizice cu magnitudine și direcție.
Categorii de vectori bazate pe mobilitatea punctului de aplicație
Cum se clasifică vectorii în fizică?
Vectorii se clasifică în trei categorii principale:
1) Legați (punct de aplicație fix),
2) Alunecători (dreapta suport fixă, punct de aplicație mobil pe aceasta),
3) Liberi (punct de aplicație mobil oriunde în spațiu, suport paralel cu o dreaptă fixă).
Vector unitar derivat dintr-un vector dat
Ce este versorul unui vector?
Versorul (vectorul unitar) al unui vector $\vec{a}$ este un vector cu aceeași direcție și sens ca $\vec{a}$, dar cu modulul egal cu 1.
Matematic, se exprimă ca: $\vec{a} = a \cdot \vec{u}$, unde $a$ este modulul lui $\vec{a}$ și $\vec{u}$ este versorul.
Vector unitar asociat unei axe de coordonate
Ce este versorul unei axe în fizică?
Versorul unei axe este un vector unitar cu direcția și sensul axei, având modulul 1 și punctul de aplicație în originea axei.
Pentru axele $Ox$, $Oy$, $Oz$, versorii sunt notați cu $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ respectiv.
Reprezentarea matematică a unui vector în sistem ortogonal
Cum se exprimă analitic un vector într-un sistem ortogonal de axe?
Într-un sistem ortogonal $O_{xyz}$, un vector $\vec{a}$ se exprimă ca: $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$, unde $a_x$, $a_y$, $a_z$ sunt proiecțiile pe axe, iar $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sunt versorii axelor.
Modulul: $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.
Calculul proiecției unui vector pe o axă
Cum se calculează proiecția unui vector pe o axă?
Proiecția unui vector $\vec{a}$ pe axa $Ox$ cu versor $\vec{i}$ este $a_x = \vec{a} \cdot \vec{i} = a \cos \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre $\vec{a}$ și $Ox$.
Proiecția este pozitivă pentru $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ și negativă pentru $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Relația între proiecția sumei vectorilor și suma proiecțiilor
Ce afirmă teorema proiecțiilor pentru suma vectorilor?
Teorema proiecțiilor stabilește că proiecția sumei vectorilor pe o axă este egală cu suma proiecțiilor individuale ale vectorilor pe acea axă.
Matematic: $S_x = v_{1x} + v_{2x} + ... + v_{nx}$, unde $S_x$ este proiecția sumei, iar $v_{ix}$ sunt proiecțiile vectorilor individuali.
Descompunerea unui vector după două direcții concurente
Cum se descompune un vector după două direcții concurente?
Descompunerea unui vector $\vec{a}$ după două direcții concurente $D_1$ și $D_2$ înseamnă exprimarea sa ca sumă de doi vectori pe aceste direcții: $\vec{a} = \vec{a_1} + \vec{a_2} = a_1\vec{u_1} + a_2\vec{u_2}$, unde $\vec{u_1}$ și $\vec{u_2}$ sunt versorii direcțiilor respective.
Operație între doi vectori rezultând într-un scalar
Ce este produsul scalar a doi vectori?
Produsul scalar a doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este un număr real definit ca $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \alpha$, unde $a$ și $b$ sunt modulele vectorilor și $\alpha$ este unghiul dintre ei.
În coordonate carteziene: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$.
Operație între doi vectori rezultând într-un nou vector
Ce este produsul vectorial a doi vectori?
Produsul vectorial $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ este un vector perpendicular pe planul format de $\vec{a}$ și $\vec{b}$.
Modulul său este $c = ab \sin \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre vectori.
Direcția și sensul sunt date de regula burghiului drept.
Operația de adunare a vectorilor
Cum se adună vectorii?
Adunarea vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ rezultă într-un vector $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$, numit vector rezultant. Geometric, se aplică regula paralelogramului sau regula poligonului pentru mai mulți vectori.
Modulul sumei: $s = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha}$.
Operația de scădere a vectorilor
Cum se scad vectorii?
Scăderea vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se definește ca adunarea lui $\vec{a}$ cu opusul lui $\vec{b}$: $\vec{D} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
Modulul diferenței: $D = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}$.
Scăderea este anticomutativă: $(\vec{a} - \vec{b}) = -(\vec{b} - \vec{a})$.
Operația de înmulțire a unui vector cu un număr real
Ce se întâmplă când înmulțim un vector cu un scalar?
Înmulțirea unui vector $\vec{a}$ cu un scalar $m$ rezultă într-un nou vector $m\vec{a}$.
Modulul noului vector este $|m\vec{a}| = |m| \cdot |\vec{a}|$.
Direcția rămâne neschimbată, iar sensul depinde de semnul lui $m$: același sens pentru $m > 0$, sens opus pentru $m < 0$.