Calculul numărului de funcții între două mulțimi finite
Cum se calculează numărul funcțiilor între două mulțimi finite?
Numărul funcțiilor între două mulțimi finite A și B se calculează astfel:
1. Fie $\text{card}(A) = m$ și $\text{card}(B) = n$
2. Numărul total de funcții este $n^m$
Aceasta rezultă din aplicarea regulii produsului, unde pentru fiecare element din A avem n opțiuni de alegere din B.
Definiția funcției injective
Ce este o funcție injectivă?
O funcție injectivă, sau unu-la-unu, este o funcție $f : A \to B$ unde fiecare element din codomeniu este asociat cu cel mult un element din domeniu. Formal:
$\forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$
Aceasta înseamnă că funcția "injectează" domeniul în codomeniu fără suprapuneri.
Definiția funcției surjective
Ce este o funcție surjectivă?
O funcție surjectivă, sau "onto", este o funcție $f : A \to B$ unde fiecare element din codomeniu este asociat cu cel puțin un element din domeniu. Formal:
$\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y$
Aceasta înseamnă că imaginea funcției este întregul codomeniu: $\text{Im } f = B$.
Definiția funcției bijective
Ce este o funcție bijectivă?
O funcție bijectivă, sau unu-la-unu și onto, este o funcție $f : A \to B$ care este atât injectivă, cât și surjectivă. Aceasta înseamnă că:
1. Fiecare element din $B$ are exact un corespondent în $A$
2. $f$ stabilește o corespondență perfectă între $A$ și $B$
O funcție bijectivă este întotdeauna inversabilă.
Definiția funcției inversabile
Ce este o funcție inversabilă?
O funcție inversabilă $f : A \to B$ are o funcție inversă $g : B \to A$ astfel încât:
$f \circ g = 1_B$ și $g \circ f = 1_A$
Unde $1_B$ și $1_A$ sunt funcții identitate. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă, stabilind o corespondență unică între $A$ și $B$.
Definiția funcției convexe
Ce este o funcție convexă?
O funcție $f : I \to \mathbb{R}$ este convexă pe intervalul $I$ dacă pentru orice $x, y \in I$ și $a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$:
$f(ax + by) \leq af(x) + bf(y)$
Geometric, segmentul care unește orice două puncte pe graficul funcției se află deasupra sau pe graficul funcției.
Definiția funcției concave
Ce este o funcție concavă?
O funcție $f : I \to \mathbb{R}$ este concavă pe intervalul $I$ dacă pentru orice $x, y \in I$ și $a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$:
$f(ax + by) \geq af(x) + bf(y)$
Geometric, segmentul care unește orice două puncte pe graficul funcției se află sub sau pe graficul funcției.