Definiția inegalității mediei aritmetice și geometrice
Ce afirmă inegalitatea mediei aritmetice și geometrice?
Inegalitatea mediei aritmetice și geometrice stabilește că pentru orice set de numere reale pozitive, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică.
Formal, pentru $a_1, a_2, ..., a_n > 0$:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$
Egalitatea se obține când toate numerele sunt egale.
Definiția inegalității Cauchy-Buniakovsky-Schwarz
Ce afirmă inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz?
Inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz stabilește că pentru orice seturi de numere reale $a_1, a_2, ..., a_n$ și $b_1, b_2, ..., b_n$:
$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)$
Aceasta este folosită în geometrie, analiză vectorială și pentru demonstrarea altor inegalități.
Definiția inegalității lui Bernoulli
Ce afirmă inegalitatea lui Bernoulli?
Inegalitatea lui Bernoulli stabilește că pentru orice $r \in \mathbb{R}, r \geq -1$ și $n \geq 0$:
$(1 + r)^n \geq 1 + nr$
Aceasta este importantă în analiză și probabilități, fiind utilizată pentru aproximări și demonstrarea convergențelor.
Definiția inegalității lui Minkowski
Ce afirmă inegalitatea lui Minkowski?
Inegalitatea lui Minkowski stabilește că pentru orice numere reale pozitive $x, y, a, b$:
$\sqrt{(x + y)^2 + (a + b)^2} \leq \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{y^2 + b^2}$
Aceasta este o generalizare a inegalității triunghiului, utilizată în teoria normelor și geometrie.
Definiția inegalității lui Cebîșev
Ce afirmă inegalitatea lui Cebîșev?
Inegalitatea lui Cebîșev stabilește că pentru două șiruri $(a_k)$ și $(b_k)$ ordonate la fel:
$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k \sum_{k=1}^{n} b_k \leq \sum_{k=1}^{n} a_k b_k$
Pentru șiruri invers ordonate, inegalitatea se inversează.
Este utilizată în teoria probabilităților și analiză.