Înapoi la lectii
Matematică
Algebra
Logaritmi

Logaritmi: Ce sunt și care sunt proprietățile logaritmilor

Descoperă conceptul de logaritm și proprietățile sale esențiale. Învață cum să folosești logaritmii pentru a rezolva probleme complexe și să înțelegi aplicațiile lor practice.

Logaritmii sunt instrumente matematice puternice care ne ajută să simplificăm calcule complexe și să rezolvăm probleme din diverse domenii.

Hai să descoperim împreună ce sunt logaritmii și cum ne pot ajuta!

Ce este un logaritm?

Înainte să intrăm în definiții complicate, hai să înțelegem ideea prin câteva exemple simple:

$$\text{Dacă } 2^3 = 8, \text{ atunci } \log_2 8 = 3$$
$$\text{Dacă } 10^2 = 100, \text{ atunci } \log_{10} 100 = 2$$
$$\text{Dacă } 5^4 = 625, \text{ atunci } \log_5 625 = 4$$

Vezi tiparul? Logaritmul ne spune la ce putere trebuie să ridicăm un număr (numit bază) pentru a obține alt număr.

E ca și cum am întreba: "2 la ce putere dă 8?" sau "10 la ce putere dă 100?"

Acum că am înțeles ideea, cred că putem scrie și definiția matematică:

$$\text{Dacă } x > 0 \text{ și } a > 0, a \neq 1, \text{ atunci } y = \log_a x \text{ înseamnă că } a^y = x$$

Reprezentarea grafică

Graficul funcției logaritmice în comparație cu funcția exponențială

Observă cum funcția logaritmică (în albastru) și funcția exponențială (în roșu) sunt simetrice față de dreapta y = x! E ca și cum una ar fi reflexia celeilalte în oglindă.

Proprietățile logaritmilor

A. Proprietăți fundamentale

Logaritmul lui 1

$$\log_a 1 = 0, \text{ pentru orice } a > 0, a \neq 1$$

E logic dacă ne gândim: orice număr ridicat la puterea 0 dă 1!

Exemplu:

$$\log_2 1 = 0 \text{ pentru că } 2^0 = 1$$
$$\log_{10} 1 = 0 \text{ pentru că } 10^0 = 1$$

Logaritmul bazei

$$\log_a a = 1, \text{ pentru orice } a > 0, a \neq 1$$

La ce putere trebuie să ridicăm un număr ca să obținem același număr? La puterea 1, evident!

Exemplu:

$$\log_2 2 = 1 \text{ pentru că } 2^1 = 2$$
$$\log_{10} 10 = 1 \text{ pentru că } 10^1 = 10$$

Proprietatea fundamentală a logaritmilor

$$a^{\log_a x} = x$$

Gândește-te la asta ca la un drum dus-întors: pleci cu un număr x, îi faci logaritm, apoi ridici baza la puterea rezultată și... surpriză! Ajungi exact de unde ai plecat, la x.

Exemplu:

$$\text{Avem } 2^{\log_2 8}$$
$$\text{Știm că } \log_2 8 = 3 \text{ (pentru că } 2^3 = 8\text{)}$$
$$\text{Deci } 2^{\log_2 8} = 2^3 = 8$$

B. Proprietăți operaționale

Logaritmul unui produs

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

Asta-i magia logaritmilor! Transformă înmulțirea în adunare. Mult mai ușor, nu?

ATENȚIE! O greșeală frecventă este să crezi că merge la fel și pentru adunare.

NU este adevărat că:

$$\log_a(x+y) \neq \log_a x + \log_a y$$

Logaritmul unui cât

$$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, x, y > 0$$

Similar cu proprietatea anterioară, împărțirea se transformă în scădere. E ca și cum am transforma operațiile grele în unele mai ușoare!

Logaritmul unei puteri

$$\log_a x^k = k \cdot \log_a x, k \in \mathbb{R}$$

Această proprietate ne scapă de calcule complicate cu puteri. E ca și cum ai "desface" puterea și ai pune exponentul în față.

Exemplu:

$$\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5$$

C. Proprietăți de schimbare a bazei

Formula generală de schimbare a bazei

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

Această formulă e super utilă când vrem să trecem de la o bază la alta. E ca și cum am construi un pod între două baze diferite!

Exemplu:

$$\text{Să calculăm } \log_2 10 \text{ folosind logaritmi zecimali:}$$$$\log_2 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} = \frac{1}{0.301} \approx 3.32$$

Formula alternativă de schimbare a bazei

$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$

Această formulă ne ajută să "sărim" direct de la o bază la alta. E ca și cum am face o scurtătură între două baze diferite!

Exemplu:

$$\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3$$

Proprietatea de simetrie

$$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$

O proprietate frumoasă care ne arată că putem "roti" numerele în anumite moduri și rezultatul rămâne același. E ca un dans în care partenerii își schimbă locurile, dar muzica (rezultatul) rămâne aceeași!

Exemplu:

$$2^{\log_3 4} = 4^{\log_3 2}$$

IMPORTANT!

Pentru toate aceste proprietăți, trebuie să respectăm mereu condițiile:

  • Numerele pentru care calculăm logaritmul trebuie să fie strict pozitive
  • Baza logaritmului trebuie să fie strict pozitivă și diferită de 1

Dacă ești interesat de toate formulele legate de logaritmi, le poți găsi aici: Formule logaritmi.

Exerciții rezolvate

Calculează $\log_2 32$

Soluție pas cu pas:

  • Observăm că 32 = 2⁵
  • Folosim proprietatea logaritmului unei puteri:
$$\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5$$

Calculează $\log_2(8 \cdot 4)$

Soluție pas cu pas:

1. Folosim proprietatea logaritmului unui produs:

$$\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4$$

2. Știm că $8 = 2^3$ și $4 = 2^2$

$$\log_2 8 = 3 \text{ și } \log_2 4 = 2$$

3. Rezultat:

$$\log_2(8 \cdot 4) = 3 + 2 = 5$$

Aplicații în viața reală

  1. Seismologie: Scara Richter pentru măsurarea cutremurelor folosește logaritmi, de exemplu un cutremur de 8 grade pe scara Richter este de 10000 de ori mai puternic decât unul de 4 grade.

  2. Acustică: Nivelul de zgomot în decibeli se măsoară logaritmic, de exemplu un zgomot de 100 de decibeli este de 10 ori mai puternic decât unul de 90 de decibeli.

  3. Chimie: pH-ul unei soluții este definit folosind logaritmi, de exemplu o soluție cu pH-ul de 6 este de 10 ori mai acidă decât o soluție cu pH-ul de 7.

  4. Astronomie: Magnitudinea stelelor se măsoară pe o scară logaritmică, de exemplu o stea cu magnitudinea de 4 este de 100 de ori mai slabă decât o stea cu magnitudinea de 6.

  5. Informatică: Analiza complexității algoritmilor, de exemplu dacă un algoritm are complexitatea O(n log n), atunci dublând numărul de elemente, algoritmul va rula de 2 ori mai repede.

Sfaturi pentru rezolvarea problemelor cu logaritmi

Verifică domeniul de definiție!

  • x trebuie să fie ÎNTOTDEAUNA pozitiv
  • baza a trebuie să fie pozitivă și diferită de 1

Începe cu ce știi!

  • Dacă vezi o expresie de forma $\log_2 8$, întreabă-te: "2 la ce putere dă 8?"
  • Dacă ai $\log_2 32$, gândește-te dacă poți scrie 32 ca o putere a lui 2

Nu te speria de calcule!

  • Logaritmii transformă operații grele în operații mai ușoare
  • Înmulțire → Adunare
  • Împărțire → Scădere
  • Puteri → Înmulțire

Exerciții propuse

  1. Calculează $\log_2 32$ folosind proprietatea logaritmului unei puteri.

  2. Demonstrează că $\log_a (1) = 0$ pentru orice bază $a > 0, a \neq 1$.

  3. Simplifică expresia: $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$

De reținut

  1. Logaritmul există doar pentru numere pozitive
  2. Baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și diferită de 1
  3. Logaritmul transformă:
    • Produse în sume
    • Câturi în diferențe
    • Puteri în produse

Verifică-ți cunoștințele

  1. De ce nu putem avea un logaritm cu baza 1?
  2. Care este diferența dintre $\log_a x^n$ și $(\log_a x)^n$?
  3. În ce situații este util să schimbăm baza unui logaritm?

Reține mai ușor toate proprietățile logaritmilor

Ai mai jos un demo cu memoratorul nostru care te poate ajuta să reții toate proprietățile logaritmilor.

Nu există flashcard-uri disponibile!

Nu ai niciun flashcard de repetat.