Înapoi la lectii
Matematică
Medii Matematice

Media Armonică: Tot ce trebuie să știi

O lecție detaliată, dar succintă, despre media armonică, folosită în special pentru viteze și rate. Vom explora formula, proprietățile și aplicațiile practice ale mediei armonice, cu exemple din situații concrete.

Media armonică este inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor date.

Deși pare complicată la prima vedere, este foarte utilă în situații specifice, în special când lucrăm cu viteze și rate.

Ce este media armonică?

Media armonică ($m_h$) este un tip special de medie folosită când lucrăm cu rate și viteze.

Este deosebit de utilă în situații unde avem de-a face cu mărimi inverse proporționale.

Dacă ești interesat de toate formulele legate de media armonică, dar și despre alte tipuri de medii, le poți găsi aici: Formule medii matematice.

Care este formula mediei armonice?

Pentru numere pozitive $x_1, x_2, ..., x_n$, media armonică se calculează astfel:

$$m_h = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$$

Pentru două numere pozitive, formula se simplifică la:

$$m_h = \frac{2xy}{x + y}$$

Exemple practice de calcul al mediei armonice

Exemplul 1: Viteza medie

Un automobil parcurge:

  • Prima jumătate a distanței cu 60 km/h
  • A doua jumătate cu 40 km/h

Calculăm viteza medie:

$$m_h = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \frac{2}{\frac{2}{120} + \frac{3}{120}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} = 48 \text{ km/h}$$

Observație: Media aritmetică (50 km/h) ar da un rezultat incorect!

Exemplul 2: Productivitate

Două mașini produc același tip de piesă:

  • Prima mașină produce o piesă în 3 minute
  • A doua mașină produce o piesă în 4 minute

Calculăm timpul mediu de producere a unei piese când mașinile lucrează împreună:

$$m_h = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \text{ minute}$$

Proprietățile mediei armonice

  • Media armonică este mai mică sau egală cu media geometrică, care la rândul ei este mai mică sau egală cu media aritmetică: $m_h \leq m_g \leq m_a$
  • Este potrivită pentru rate și viteze
  • Dă mai multă importanță valorilor mici
  • Se aplică doar la numere pozitive

Aplicații în viața reală ale mediei armonice

  • Calculul vitezei medii când se cunosc vitezele pe porțiuni egale
  • Calculul consumului mediu de combustibil
  • Determinarea productivității medii a echipamentelor
  • Calculul timpului mediu de execuție în paralel
  • Rate medii în procese industriale

Exersează (Exerciții propuse)

  • Un biciclist merge la școală cu 20 km/h și se întoarce pe același traseu cu 10 km/h. Care este viteza sa medie?
  • O mașină consumă 6 litri/100km la drum drept și 8 litri/100km la drum montan. Care este consumul mediu dacă distanțele sunt egale?
  • Doi muncitori zugrăvesc un perete în 3 ore, respectiv 4 ore. În cât timp ar zugrăvi peretele lucrând împreună?

De reținut

  • Media armonică este potrivită pentru rate și viteze
  • Dă rezultate corecte în situații unde media aritmetică ar fi înșelătoare
  • Se aplică doar la numere pozitive
  • Este întotdeauna mai mică sau egală cu media geometrică și aritmetică

Verifică-ți cunoștințele

  • Poți explica de ce media armonică este mai potrivită pentru calculul vitezei medii?
  • Înțelegi diferența dintre media armonică și cea aritmetică?
  • Știi să identifici situațiile în care trebuie folosită media armonică?
  • Poți calcula media armonică pentru un set de valori date?

Reține mai ușor toate formulele legate de medii matematice

Dacă vrei să reții mai ușor toate formulele legate de medii matematice, avem un memorator dedicat formulelor legate de medii pe site-ul nostru.

Ai mai jos un demo cu acest memorator.

Nu există flashcard-uri disponibile!

Nu ai niciun flashcard de repetat.