Matematică

Analiza Matematică

Siruri

11 noiembrie 2024

Șiruri și monotonie - Concepte fundamentale

Explorează conceptele fundamentale despre șiruri și monotonie în analiza matematică. Află totul despre șiruri monotone, strict monotone și mărginite.

De invatat in continuare

Comparație Medii Matematice: Tot ce trebuie să știi

O sinteză a tuturor tipurilor de medii matematice, cu comparații, proprietăți și aplicații specifice. Explorează diferențele dintre mediile aritmetică, geometrică, armonică, ponderată și pătratică.

Inegalitatea mediilor aritmetice și geometrice: Tot ce trebuie să știi

Descoperă cum să compari mediile aritmetice și geometrice folosind una dintre cele mai importante inegalități din matematică. Află cum să aplici această inegalitate în probleme practice și să o demonstrezi.

Șirurile reprezintă un concept fundamental în analiza matematică, fiind baza pentru studiul multor alte concepte precum limite, serii și continuitate.

Le întâlnești frecvent în:

Evoluția temperaturii zilnice într-o lună
Creșterea lunară a economiilor într-un cont bancar
Evoluția populației unei țări de-a lungul anilor
Valoarea acțiunilor unei companii la bursă

0. Ce este un șir?

Un șir este o listă de numere care urmează o anumită regulă.

Înainte de a începe, dacă ești interesat de toate formulele legate de siruri și limite de șiruri, le poți găsi aici: Formule șiruri.

1. Șiruri monotone

Șir monoton crescător

Un șir real $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este monoton crescător dacă fiecare număr din șir este mai mare sau egal cu numărul anterior.

Exemplu: În șirul $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ...$:

Numerele fie rămân la fel (1→1)
Fie cresc (1→2→3→4)
Nu scad niciodată

Șir monoton descrescător

Un șir real $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este monoton descrescător dacă fiecare număr din șir este mai mic sau egal cu numărul anterior.

Exemplu simplu:

În șirul $4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, ...$:

Numerele fie rămân la fel (4→4)
Fie scad (4→3→2→1)
Nu cresc niciodată

Șir monoton

Un șir real este monoton dacă este fie monoton crescător, fie monoton descrescător.

Observație importantă: Un șir constant $2, 2, 2, 2, ...$ este considerat monoton, fiind atât crescător cât și descrescător.

2. Șiruri strict monotone

Șir strict crescător

Un șir real $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este strict crescător dacă $a_n < a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$

Exemplu:

Șirul numerelor naturale: $1, 2, 3, 4, 5, ...$

Șir strict descrescător

Un șir real $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este strict descrescător dacă $a_n > a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$

Exemplu:

Șirul$5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ...$

Șir strict monoton

Un șir real este strict monoton dacă este fie strict crescător, fie strict descrescător.

3. Șiruri mărginite

Fie $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ un șir real. Spunem că șirul este mărginit dacă $\exists a, b \in \mathbb{R}, a < b$ astfel încât $a \leq a_n \leq b, \forall n \in \mathbb{N}$

Observație:

Un șir poate fi mărginit fără a fi monoton. De exemplu, șirul alternant $(-1)^n$ este mărginit de -1 și 1, dar nu este monoton.

4. Exemple rezolvate

Exemplul 1:

Analiează șirul $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = \frac{n}{n+1}$

Primii termeni ai șirului:

$$a_1 = \frac{1}{2} = 0.5 \\ a_2 = \frac{2}{3} \approx 0.667 \\ a_3 = \frac{3}{4} = 0.75 \\ a_4 = \frac{4}{5} = 0.8$$

Verificarea monotoniei:

Pentru orice $n \geq 1$

$$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$$

Deci șirul este strict crescător

Verificarea mărginii:

Pentru orice $n \geq 1$

$$0 < \frac{n}{n+1} < 1$$

Deci șirul este mărginit

Exemplul 2:

Analizează șirul geometric $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = (\frac{1}{2})^n$

Primii termeni:

$$a_1 = \frac{1}{2} \\ a_2 = \frac{1}{4} \\ a_3 = \frac{1}{8} \\ a_4 = \frac{1}{16}$$

Monotonie: Șirul este strict descrescător deoarece fiecare termen este jumătate din termenul anterior
Mărginire: Șirul este mărginit superior de 1 și inferior de 0

5. Greșeli frecvente

Șiruri constante

Un șir constant $2, 2, 2, 2, ...$ este monoton, fiind atât crescător cât și descrescător

Nu este însă strict monoton

Șiruri alternante

Un șir alternant $1, -1, 1, -1, ...$ nu este monoton

Poate fi însă mărginit

Relația între monotonie strictă și monotonie

Orice șir strict crescător este și crescător
Orice șir strict descrescător este și descrescător
Reciproca nu este adevărată (verifică exemplul șirului constant)

6. Verifică-ți cunoștințele

Care este diferența dintre un șir monoton crescător și unul strict crescător?
Poate un șir să fie simultan crescător și descrescător?
Un șir mărginit este neapărat monoton?
Găsește un exemplu de șir care este:
- crescător dar nu strict crescător
- mărginit dar nu monoton
- strict crescător și mărginit superior

7. Exerciții

1.Studiază monotonia următoarelor șiruri:

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = \frac{2n+1}{n} \\ (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = (-1)^n \\ (c_n)_{n\in\mathbb{N}} = \sqrt{n}$$

2. Demonstrează că dacă un șir este strict crescător, atunci este și crescător.

3. Fie șirul $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = \frac{n^2}{n^2+1}$. Demonstrează că este crescător și mărginit.

8. Legături cu alte concepte

Limite de șiruri

Orice șir monoton și mărginit are limită (Teorema fundamentală a șirurilor monotone)

Exemplu: șirul $\frac{n}{n+1}$ este crescător și mărginit, deci convergent (limita este 1)

Progresii

Progresiile aritmetice (ex: $1, 4, 7, 10, ...$) sunt șiruri strict monotone
Progresiile geometrice cu rația pozitivă sunt strict monotone

Aplicații în economie

Rata dobânzii compuse generează șiruri strict crescătoare
Deprecierea unui activ generează șiruri strict descrescătoare

Reține mai ușor toate conceptele legate de șiruri și limite de șiruri

Ai mai jos un demo cu memoratorul nostru care te poate ajuta să reții toate conceptele legate de șiruri și limite de șiruri.

Nu există flashcard-uri disponibile!

Nu ai niciun flashcard de repetat.