Șiruri și monotonie - Concepte fundamentale
Explorează conceptele fundamentale despre șiruri și monotonie în analiza matematică. Află totul despre șiruri monotone, strict monotone și mărginite.
De invatat in continuare
Comparație Medii Matematice: Tot ce trebuie să știi
O sinteză a tuturor tipurilor de medii matematice, cu comparații, proprietăți și aplicații specifice. Explorează diferențele dintre mediile aritmetică, geometrică, armonică, ponderată și pătratică.
Inegalitatea mediilor aritmetice și geometrice: Tot ce trebuie să știi
Descoperă cum să compari mediile aritmetice și geometrice folosind una dintre cele mai importante inegalități din matematică. Află cum să aplici această inegalitate în probleme practice și să o demonstrezi.
Șirurile reprezintă un concept fundamental în analiza matematică, fiind baza pentru studiul multor alte concepte precum limite, serii și continuitate.
Le întâlnești frecvent în:
- Evoluția temperaturii zilnice într-o lună
- Creșterea lunară a economiilor într-un cont bancar
- Evoluția populației unei țări de-a lungul anilor
- Valoarea acțiunilor unei companii la bursă
0. Ce este un șir?
Un șir este o listă de numere care urmează o anumită regulă.
Înainte de a începe, dacă ești interesat de toate formulele legate de siruri și limite de șiruri, le poți găsi aici: Formule șiruri.
1. Șiruri monotone
Șir monoton crescător
Un șir real
Exemplu:
În șirul
- Numerele fie rămân la fel (1→1)
- Fie cresc (1→2→3→4)
- Nu scad niciodată
Șir monoton descrescător
Un șir real
Exemplu simplu:
În șirul
- Numerele fie rămân la fel (4→4)
- Fie scad (4→3→2→1)
- Nu cresc niciodată
Șir monoton
Un șir real este monoton dacă este fie monoton crescător, fie monoton descrescător.
Observație importantă:
Un șir constant
2. Șiruri strict monotone
Șir strict crescător
Un șir real
Exemplu:
Șir strict descrescător
Un șir real
Exemplu:
Șirul
Șir strict monoton
Un șir real este strict monoton dacă este fie strict crescător, fie strict descrescător.
3. Șiruri mărginite
Fie
Observație:
Un șir poate fi mărginit fără a fi monoton. De exemplu, șirul alternant
4. Exemple rezolvate
Exemplul 1:
Analiează șirul
Primii termeni ai șirului:
- Verificarea monotoniei:
Pentru orice
Deci șirul este strict crescător
- Verificarea mărginii:
Pentru orice
Deci șirul este mărginit
Exemplul 2:
Analizează șirul geometric
Primii termeni:
- Monotonie: Șirul este strict descrescător deoarece fiecare termen este jumătate din termenul anterior
- Mărginire: Șirul este mărginit superior de 1 și inferior de 0
5. Greșeli frecvente
Șiruri constante
Un șir constant
- Nu este însă strict monoton
Șiruri alternante
Un șir alternant
- Poate fi însă mărginit
Relația între monotonie strictă și monotonie
- Orice șir strict crescător este și crescător
- Orice șir strict descrescător este și descrescător
- Reciproca nu este adevărată (verifică exemplul șirului constant)
6. Verifică-ți cunoștințele
- Care este diferența dintre un șir monoton crescător și unul strict crescător?
- Poate un șir să fie simultan crescător și descrescător?
- Un șir mărginit este neapărat monoton?
- Găsește un exemplu de șir care este:
- crescător dar nu strict crescător
- mărginit dar nu monoton
- strict crescător și mărginit superior
7. Exerciții
1.Studiază monotonia următoarelor șiruri:
2. Demonstrează că dacă un șir este strict crescător, atunci este și crescător.
3. Fie șirul
8. Legături cu alte concepte
Limite de șiruri
Orice șir monoton și mărginit are limită (Teorema fundamentală a șirurilor monotone)
- Exemplu: șirul
$\frac{n}{n+1}$ este crescător și mărginit, deci convergent (limita este 1)
Progresii
- Progresiile aritmetice (ex:
$1, 4, 7, 10, ...$ ) sunt șiruri strict monotone - Progresiile geometrice cu rația pozitivă sunt strict monotone
Aplicații în economie
- Rata dobânzii compuse generează șiruri strict crescătoare
- Deprecierea unui activ generează șiruri strict descrescătoare
Reține mai ușor toate conceptele legate de șiruri și limite de șiruri
Ai mai jos un demo cu memoratorul nostru care te poate ajuta să reții toate conceptele legate de șiruri și limite de șiruri.
Nu există flashcard-uri disponibile!
Nu ai niciun flashcard de repetat.