Înapoi la toate formulele

10 Formule pentru șiruri disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de șiruri

Tabel formule șiruri:

DescriereFormula
Șir monoton crescător
$a_n \leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$
Șir monoton descrescător
$a_n \geq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$
Șir mărginit
$\exists a, b \in \mathbb{R}, a < b, \text{ astfel încât } a \leq a_n \leq b, \forall n \in \mathbb{N}$
Definiția limitei unui șir (ε-δ)
$\forall \varepsilon > 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \text{ astfel încât } \forall n \geq n_\varepsilon, |a_n - a| < \varepsilon$
Criteriul majorării
$|a_n - a| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N} \text{ și } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = a$
Teorema de comparare
$a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$
Criteriul raportului (D'Alembert)
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = 0$
Limita sumei
$\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n$
Limita produsului
$\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n$
Limita remarcabilă pentru e
$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Vezi mai multe formule:

Analiza MatematicaLimiteLimite Remarcabile

Formule de șiruri adăugate recent:

Șir monoton crescător

Definiția unui șir monoton crescător
$a_n \leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$

Șir monoton descrescător

Definiția unui șir monoton descrescător
$a_n \geq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$

Șir mărginit

Definiția unui șir mărginit
$\exists a, b \in \mathbb{R}, a < b, \text{ astfel încât } a \leq a_n \leq b, \forall n \in \mathbb{N}$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

Începe gratuit

1 Memorator disponibil care te poate ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit

Șiruri, limite de șiruri, operații cu șiruri, limite remarcabile

Acest pachet conține flashcard-uri despre șiruri, limite de șiruri, operații cu șiruri, limite remarcabile, monotonie, convergență, divergență și criterii asociate.
35 flashcard-uri în pachet
~11 minute de studiu
Vezi detalii

10 Întrebări despre șiruri

Ce condiție trebuie să îndeplinească un șir pentru a fi monoton crescător?

Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este monoton crescător dacă $a_n \leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$. Aceasta înseamnă că fiecare termen este mai mare sau egal cu termenul precedent.

Ce condiție trebuie să îndeplinească un șir pentru a fi monoton descrescător?

Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este monoton descrescător dacă $a_n \geq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$. Aceasta înseamnă că fiecare termen este mai mic sau egal cu termenul precedent.

Ce condiție trebuie să îndeplinească un șir pentru a fi mărginit?

Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ este mărginit dacă $\exists a, b \in \mathbb{R}, a < b$, astfel încât $a \leq a_n \leq b, \forall n \in \mathbb{N}$. Aceasta înseamnă că toate termenii șirului sunt cuprinși între două valori fixe.

Cum se definește formal limita unui șir?

Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ are limita $a$ dacă $\forall \varepsilon > 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}$ astfel încât $\forall n \geq n_\varepsilon, |a_n - a| < \varepsilon$. Aceasta înseamnă că termenii șirului se apropie arbitrar de mult de $a$ pentru $n$ suficient de mare.

Care este criteriul majorării pentru convergența șirurilor?

Dacă $|a_n - a| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ și $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = a$. Acest criteriu permite demonstrarea convergenței unui șir prin comparație cu un alt șir convergent la zero.

Ce afirmă teorema de comparare pentru șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente și $a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$. Această teoremă permite compararea limitelor a două șiruri.

Ce afirmă criteriul raportului pentru convergența șirurilor?

Dacă $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Acest criteriu este util pentru determinarea convergenței șirurilor cu termeni pozitivi.

Cum se calculează limita sumei a două șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei sumei prin sumarea limitelor individuale.

Cum se calculează limita produsului a două șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei produsului prin înmulțirea limitelor individuale.

Care este limita remarcabilă care definește numărul e?

Limita $\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ definește numărul e, baza logaritmilor naturali. Această limită este fundamentală în analiza matematică și are numeroase aplicații.