Q: Ce este o permutare de ordin n și cum se notează?

O permutare de ordin n este o funcție bijectivă $\sigma: A \rightarrow A$, unde $A = \{1, 2, ..., n\}$. Se notează: $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}$ Multimea tuturor permutărilor de ordin n se notează $S_n$, cu $\text{card}(S_n) = n!$

Question 1

5 Definiții pentru permutări disponibile

Question 2

Cum se calculează numărul de permutări ale unei mulțimi?

Accepted Answer

Numărul de permutări $P_n$ pentru o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula:
$P_n = n!$
Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care se pot aranja $n$ elemente distincte. Factorialul $n!$ crește foarte rapid odată cu creșterea lui $n$.

Question 3

Ce este o permutare de ordin n și cum se notează?

Accepted Answer

O permutare de ordin n este o funcție bijectivă $\sigma: A ightarrow A$, unde $A = \{1, 2, ..., n\}$. Se notează:
$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}$
Multimea tuturor permutărilor de ordin n se notează $S_n$, cu $ ext{card}(S_n) = n!$

Question 4

Cum se calculează semnul unei permutări?

Accepted Answer

Semnul unei permutări $\sigma$, notat $\varepsilon(\sigma)$, se calculează astfel:
1. Identifică inversiunile: perechi $(i,j)$ cu $i < j$ și $\sigma(i)>\sigma(j)$
2. Numără inversiunile: $m(\sigma)$
3. Calculează semnul: $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{m(\sigma)}$
O permutare este pară dacă $\varepsilon(\sigma)=+1$, impară dacă $\varepsilon(\sigma)=-1$.

Question 5

Care sunt proprietățile permutărilor în funcție de semn?

Accepted Answer

Proprietățile permutărilor în funcție de semn sunt:
1. Pară: semnul este $+1$; Impară: semnul este $-1$
2. Semnul produsului: $\varepsilon(\sigma_1\sigma_2) = \varepsilon(\sigma_1)\varepsilon(\sigma_2)$
Aceste proprietăți sunt fundamentale în teoria grupurilor și în studiul simetriilor.

Question 6

Ce reprezintă $S_n$ în contextul permutărilor și care este cardinalul său?

Accepted Answer

$S_n$ este mulțimea tuturor permutărilor de ordin $n$. Proprietăți:
1. card $S_n$ = $n!$
2. $n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1$
Această mulțime formează un grup simetric de ordin n, fundamental în algebra abstractă și teoria grupurilor.

5 Definiții pentru permutări disponibile

Definiția numărului de permutări

Definiția și notația pentru permutări de ordin n

Metoda de calcul pentru semnul unei permutări

Clasificarea permutărilor în funcție de semn și proprietatea produsului de permutări

Definiția și cardinalul mulțimii permutărilor de ordin n

Începe să reții definițiile și conceptele avansate mult mai repede

2 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Combinatorică și Binomul lui Newton

Permutări