5 Definiții pentru permutări disponibile

Numărul de permutări $P_n$ pentru o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula:
$P_n = n!$
Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care se pot aranja $n$ elemente distincte. Factorialul $n!$ crește foarte rapid odată cu creșterea lui $n$.

O permutare de ordin n este o funcție bijectivă $\sigma: A \rightarrow A$, unde $A = \{1, 2, ..., n\}$. Se notează:
$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}$
Multimea tuturor permutărilor de ordin n se notează $S_n$, cu $\text{card}(S_n) = n!$

Semnul unei permutări $\sigma$, notat $\varepsilon(\sigma)$, se calculează astfel:
1. Identifică inversiunile: perechi $(i,j)$ cu $i < j$ și $\sigma(i)>\sigma(j)$
2. Numără inversiunile: $m(\sigma)$
3. Calculează semnul: $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{m(\sigma)}$
O permutare este pară dacă $\varepsilon(\sigma)=+1$, impară dacă $\varepsilon(\sigma)=-1$.

Proprietățile permutărilor în funcție de semn sunt:
1. Pară: semnul este $+1$; Impară: semnul este $-1$
2. Semnul produsului: $\varepsilon(\sigma_1\sigma_2) = \varepsilon(\sigma_1)\varepsilon(\sigma_2)$
Aceste proprietăți sunt fundamentale în teoria grupurilor și în studiul simetriilor.

$S_n$ este mulțimea tuturor permutărilor de ordin $n$. Proprietăți:
1. card $S_n$ = $n!$
2. $n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1$
Această mulțime formează un grup simetric de ordin n, fundamental în algebra abstractă și teoria grupurilor.