Definiția regulii produsului în probleme de numărare
Ce este regula produsului în probleme de numărare?
Regula produsului în probleme de numărare stabilește că dacă avem n evenimente independente, fiecare cu ki posibilități, numărul total de rezultate posibile este produsul k1⋅k2⋅...⋅kn. Aceasta se aplică în special la probleme de numărare și combinatorică.
Convenția pentru 0! și definiția generală a factorialului
Ce este factorialul și cum se definește?
Factorialul este o operație matematică definită astfel:
1. Pentru n>0: n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n
2. Prin convenție: 0!=1
Factorialul se folosește frecvent în combinatorică și teoria probabilităților.
Definiția numărului de permutări
Cum se calculează numărul de permutări ale unei mulțimi?
Numărul de permutări Pn pentru o mulțime cu n elemente este dat de formula:
Pn=n!
Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care se pot aranja n elemente distincte. Factorialul n! crește foarte rapid odată cu creșterea lui n.
Formula pentru calculul aranjamentelor
Cum se calculează numărul de aranjamente?
Numărul de aranjamente Ank de k elemente dintr-o mulțime de n elemente este:
Ank=(n−k)!n!,0≤k≤n
Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și ordona k elemente din n.
Formula pentru calculul combinărilor
Cum se calculează numărul de combinări?
Numărul de combinări Cnk de k elemente dintr-o mulțime de n elemente este:
Cnk=k!(n−k)!n!,0≤k≤n
Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta k elemente din n, fără a ține cont de ordine.
Formula combinărilor complementare
Ce reprezintă formula combinărilor complementare?
Formula combinărilor complementare Cnk=Cnn−k arată că:
Numărul de moduri de a alege k elemente dintr-o mulțime de n elemente este egal cu numărul de moduri de a alege n−k elemente din aceeași mulțime. Aceasta reflectă simetria în selecția de elemente.
Formula de recurență pentru combinări
Care este formula de recurență pentru combinări?
Formula de recurență pentru combinări este:
Cnk=Cn−1k+Cn−1k−1
Aceasta formează baza triunghiului lui Pascal și arată cum fiecare număr este suma celor două numere de deasupra sa în triunghi.
Formula binomului lui Newton
Care este formula binomului lui Newton?
Binomul lui Newton exprimă dezvoltarea (a+b)n ca:
(a+b)n=∑k=0nCnk⋅an−k⋅bk
Aceasta arată cum se poate expanda puterea unui binom în termeni de coeficienți binomiali și puteri ale a și b.
Termenul general în binomul lui Newton
Cum arată termenul general în dezvoltarea binomului lui Newton?
Termenul general (de rang k+1) în dezvoltarea binomului lui Newton (a+b)n este:
Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bk
Aceasta arată structura fiecărui termen în expansiune, combinând coeficienții binomiali cu puterile lui a și b.
Coeficienții binomiali în dezvoltarea lui Newton
Care sunt coeficienții binomiali în dezvoltarea lui Newton?
Coeficienții binomiali în (a+b)n sunt Cn0,Cn1,Cn2,...,Cnn. Suma lor este 2n, ceea ce rezultă din dezvoltarea (1+1)n. Acești coeficienți formează rândul n din triunghiul lui Pascal.
Relația între coeficienții binomiali de rang par și impar
Care este relația între coeficienții binomiali de rang par și impar?
În dezvoltarea binomului lui Newton:
1. Suma coeficienților de rang impar = Suma coeficienților de rang par
2. Valoarea comună a acestor sume este 2n−1
Aceasta rezultă din dezvoltarea (1+1)n și (1−1)n.
Formula de recurență între termeni consecutivi în binomul lui Newton
Care este formula de recurență între doi termeni consecutivi în dezvoltarea binomului lui Newton?
Formula de recurență între termeni consecutivi în (a+b)n este:
Tk+1Tk+2=k+1n−k⋅ab sau
TkTk+1=kn−k+1⋅ab
Aceasta permite calculul eficient al termenilor succesivi.
Definiția și notația pentru permutări de ordin n
Ce este o permutare de ordin n și cum se notează?
O permutare de ordin n este o funcție bijectivă σ:A→A, unde A={1,2,...,n}. Se notează:
σ=(1σ(1)2σ(2)⋯⋯nσ(n))
Multimea tuturor permutărilor de ordin n se notează Sn, cu card(Sn)=n!
Metoda de calcul pentru semnul unei permutări
Cum se calculează semnul unei permutări?
Semnul unei permutări σ, notat ε(σ), se calculează astfel:
1. Identifică inversiunile: perechi (i,j) cu i<j și σ(i)>σ(j)
2. Numără inversiunile: m(σ)
3. Calculează semnul: ε(σ)=(−1)m(σ)
O permutare este pară dacă ε(σ)=+1, impară dacă ε(σ)=−1.
Clasificarea permutărilor în funcție de semn și proprietatea produsului de permutări
Care sunt proprietățile permutărilor în funcție de semn?
Proprietățile permutărilor în funcție de semn sunt:
1. Pară: semnul este +1; Impară: semnul este −1
2. Semnul produsului: ε(σ1σ2)=ε(σ1)ε(σ2)
Aceste proprietăți sunt fundamentale în teoria grupurilor și în studiul simetriilor.
Definiția și cardinalul mulțimii permutărilor de ordin n
Ce reprezintă Sn în contextul permutărilor și care este cardinalul său?
Sn este mulțimea tuturor permutărilor de ordin n. Proprietăți:
1. card Sn = n!
2. n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1
Această mulțime formează un grup simetric de ordin n, fundamental în algebra abstractă și teoria grupurilor.