Înapoi la toate formulele
Un inel este o structură algebrică $(A, +, \cdot)$ unde:
1) $(A, +)$ este grup abelian,
2) $(A, \cdot)$ este monoid,
3) $\cdot$ este distributivă față de $+$.
Dacă $\cdot$ este comutativă, avem un inel comutativ.
Exemple: $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ și matricele pătratice.
Definiția inelului
Care sunt proprietățile definitorii ale unui inel?
1) $(A, +)$ este grup abelian,
2) $(A, \cdot)$ este monoid,
3) $\cdot$ este distributivă față de $+$.
Dacă $\cdot$ este comutativă, avem un inel comutativ.
Exemple: $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ și matricele pătratice.
Cum se aplică această formulă
Inelul este o structură algebrică fundamentală ce combină două operații într-un mod specific, respectând anumite proprietăți.
Un inel este o structură $$(A, +, \cdot)$$ care satisface următoarele condiții:
- $$(A, +)$$ este grup abelian
- $$(A, \cdot)$$ este monoid
- Operația $$\cdot$$ este distributivă față de $$+$$
Exercițiu rezolvat
Să verificăm dacă mulțimea numerelor întregi cu operațiile de adunare și înmulțire formează un inel.
Verificăm pas cu pas:
- Pentru $$(A, +)$$:
- Comutativitate: $$(a + b) = (b + a)$$ ✓
- Asociativitate: $$a + (b + c) = (a + b) + c$$ ✓
- Element neutru: $$a + 0 = 0 + a = a$$ ✓
- Pentru $$(A, \cdot)$$:
- Asociativitate: $$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$ ✓
- Element neutru: $$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$$ ✓
- Distributivitate: $$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$$ ✓
Concluzie
Mulțimea numerelor întregi cu operațiile standard formează un inel, mai exact un inel comutativ.
Conceptul de inel este fundamental în algebra modernă și are aplicații în teoria numerelor și geometrie.
Vezi mai multe formule similare:
Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede
Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.