Q: Ce este un morfism de grupuri și când devine izomorfism?

Un morfism de grupuri este o funcție $f : G \to G'$ cu proprietatea $f(x * y) = f(x) \circ f(y), (\forall)x,y \in G$. Dacă $f$ este și bijectivă, devine izomorfism de grupuri, notând $G \simeq G'$. Exemplu: exponențiala $\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \cdot)$.

Question 1

7 Întrebări despre structuri algebrice

Question 2

Ce este un monoid și care sunt proprietățile sale principale?

Accepted Answer

Un monoid este o structură algebrică $(M, *)$ cu următoarele proprietăți:
1) $*$ este lege de compoziție pe $M$,
2) $*$ este asociativă,
3) $*$ are element neutru.
Dacă $*$ este și comutativă, avem un monoid comutativ, ca $(\mathbb{N}, +)$.

Question 3

Care sunt proprietățile definitorii ale unui grup?

Accepted Answer

Un grup este o structură algebrică $(G, *)$ cu proprietățile:
1) $*$ este lege de compoziție pe $G$,
2) $*$ este asociativă,
3) $*$ are element neutru,
4) Orice element din $G$ este simetrizabil.
Un grup cu $*$ comutativă se numește grup abelian, ca $(\mathbb{Z}, +)$.

Question 4

Care sunt condițiile necesare și suficiente pentru ca o submulțime să fie subgrup?

Accepted Answer

O submulțime $H \subseteq G$ este subgrup dacă:
1) $(\forall)x,y \in H \Rightarrow x * y \in H$,
2) $(\forall)x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H$.
Aceste condiții asigură că $H$ este închis în raport cu operația $*$ și conține simetricul fiecărui element.

Question 5

Ce este un morfism de grupuri și când devine izomorfism?

Accepted Answer

Un morfism de grupuri este o funcție $f : G o G'$ cu proprietatea $f(x * y) = f(x) \circ f(y), (\forall)x,y \in G$.
Dacă $f$ este și bijectivă, devine izomorfism de grupuri, notând $G \simeq G'$.
Exemplu: exponențiala $\exp : (\mathbb{R}, +) o (\mathbb{R}_+^*, \cdot)$.

Question 6

Care sunt proprietățile definitorii ale unui inel?

Accepted Answer

Un inel este o structură algebrică $(A, +, \cdot)$ unde:
1) $(A, +)$ este grup abelian,
2) $(A, \cdot)$ este monoid,
3) $\cdot$ este distributivă față de $+$.
Dacă $\cdot$ este comutativă, avem un inel comutativ.
Exemple: $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ și matricele pătratice.

Question 7

Ce proprietate definește un corp în algebra abstractă?

Accepted Answer

Un corp este un inel $(K, +, \cdot)$ în care orice element nenul este inversabil pentru $\cdot$.
Echivalent, ecuația $a \cdot x = b$ are soluție unică pentru $a eq 0$.
Exemple: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, și $\mathbb{C}$ cu operațiile uzuale.

Question 8

Ce este inelul $\mathbb{Z}_n$ și care sunt proprietățile sale principale?

Accepted Answer

Inelul $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}$ folosește adunarea și înmulțirea modulo $n$. Proprietăți:
1) Operațiile sunt modulo $n$,
2) $k$ e inversabil dacă $(k,n) = 1$, 3) E corp dacă $n$ e prim. Exemplu în $\mathbb{Z}_6$: $4 + 5 = 3$, $2 \cdot 3 = 0$.

Descriere	Formula
Definiția monoidului	$(M, *)$
Definiția grupului	$(G, *)$
Definiția subgrupului	$H \subseteq G$
Morfism de grupuri	$f(x * y) = f(x) \circ f(y)$
Definiția inelului	$(A, +, \cdot)$
Definiția corpului	$a \cdot x = b$
Inelul $\mathbb{Z}_n$	$\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}$

7 Formule pentru structuri algebrice disponibile

Tabel formule structuri algebrice:

Vezi mai multe formule:

Formule de structuri algebrice adăugate recent:

Definiția monoidului

Definiția grupului

Definiția subgrupului

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

1 Memorator disponibil care te poate ajuta să înveți mai repede

Structuri Algebrice