78 Definiții matematică disponibile

Principiul inducției matematice este o metodă de demonstrație în matematică. Se bazează pe două pași: 1. Pasul de bază: $P(m)$ este adevărată 2. Pasul inductiv: $\forall k \ge m, P(k) \rightarrow P(k + 1)$ Dacă ambii pași sunt adevărați, atunci $\forall n \ge m, P(n)$ este adevărată.

Regula produsului în probleme de numărare stabilește că dacă avem $n$ evenimente independente, fiecare cu $k_i$ posibilități, numărul total de rezultate posibile este produsul $k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_n$. Aceasta se aplică în special la probleme de numărare și combinatorică.

Numărul funcțiilor între două mulțimi finite A și B se calculează astfel: 1. Fie $\text{card}(A) = m$ și $\text{card}(B) = n$ 2. Numărul total de funcții este $n^m$ Aceasta rezultă din aplicarea regulii produsului, unde pentru fiecare element din A avem n opțiuni de alegere din B.

Numărul submulțimilor unei mulțimi finite cu $n$ elemente este $2^n$. Aceasta se explică astfel: 1. Pentru fiecare element, avem 2 opțiuni: îl includem sau nu 2. Aplicăm regula produsului: $2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2$ (de $n$ ori) $= 2^n$

Factorialul este o operație matematică definită astfel: 1. Pentru $n > 0$: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$ 2. Prin convenție: $0! = 1$ Factorialul se folosește frecvent în combinatorică și teoria probabilităților.

Ridicarea la putere naturală a unui număr real $a$ se definește astfel: 1. Pentru $n > 0$: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ factori}}$ 2. Pentru $n = 0$: $a^0 = 1$, unde $a \neq 0$ Această operație este fundamentală în algebra elementară.

Puterile cu exponent întreg negativ se definesc astfel: $c^{-n} = \frac{1}{c^n}$, unde $c \in \mathbb{R}^*$ și $n \in \mathbb{N}^*$ Această definiție extinde conceptul de putere la exponenți negativi și este esențială în algebra și analiza matematică.

Puterile cu exponent rațional se definesc astfel: Pentru $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, unde $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $n \ge 2$: $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ Aceasta extinde conceptul de putere la fracții și este crucial în analiza matematică.

Inegalitatea mediei aritmetice și geometrice stabilește că pentru orice set de numere reale pozitive, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică.
Formal, pentru $a_1, a_2, ..., a_n > 0$:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$
Egalitatea se obține când toate numerele sunt egale.

Inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz stabilește că pentru orice seturi de numere reale $a_1, a_2, ..., a_n$ și $b_1, b_2, ..., b_n$:
$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)$
Aceasta este folosită în geometrie, analiză vectorială și pentru demonstrarea altor inegalități.

Inegalitatea lui Bernoulli stabilește că pentru orice $r \in \mathbb{R}, r \geq -1$ și $n \geq 0$:
$(1 + r)^n \geq 1 + nr$
Aceasta este importantă în analiză și probabilități, fiind utilizată pentru aproximări și demonstrarea convergențelor.

Inegalitatea lui Minkowski stabilește că pentru orice numere reale pozitive $x, y, a, b$:
$\sqrt{(x + y)^2 + (a + b)^2} \leq \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{y^2 + b^2}$
Aceasta este o generalizare a inegalității triunghiului, utilizată în teoria normelor și geometrie.

Inegalitatea lui Cebîșev stabilește că pentru două șiruri $(a_k)$ și $(b_k)$ ordonate la fel:
$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k \sum_{k=1}^{n} b_k \leq \sum_{k=1}^{n} a_k b_k$
Pentru șiruri invers ordonate, inegalitatea se inversează.
Este utilizată în teoria probabilităților și analiză.

O funcție injectivă, sau unu-la-unu, este o funcție $f : A \to B$ unde fiecare element din codomeniu este asociat cu cel mult un element din domeniu. Formal:
$\forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$
Aceasta înseamnă că funcția "injectează" domeniul în codomeniu fără suprapuneri.

O funcție surjectivă, sau "onto", este o funcție $f : A \to B$ unde fiecare element din codomeniu este asociat cu cel puțin un element din domeniu. Formal:
$\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y$
Aceasta înseamnă că imaginea funcției este întregul codomeniu: $\text{Im } f = B$.

O funcție bijectivă, sau unu-la-unu și onto, este o funcție $f : A \to B$ care este atât injectivă, cât și surjectivă. Aceasta înseamnă că:
1. Fiecare element din $B$ are exact un corespondent în $A$
2. $f$ stabilește o corespondență perfectă între $A$ și $B$
O funcție bijectivă este întotdeauna inversabilă.

O funcție inversabilă $f : A \to B$ are o funcție inversă $g : B \to A$ astfel încât:
$f \circ g = 1_B$ și $g \circ f = 1_A$
Unde $1_B$ și $1_A$ sunt funcții identitate. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă, stabilind o corespondență unică între $A$ și $B$.

O funcție $f : I \to \mathbb{R}$ este convexă pe intervalul $I$ dacă pentru orice $x, y \in I$ și $a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$:
$f(ax + by) \leq af(x) + bf(y)$
Geometric, segmentul care unește orice două puncte pe graficul funcției se află deasupra sau pe graficul funcției.

O funcție $f : I \to \mathbb{R}$ este concavă pe intervalul $I$ dacă pentru orice $x, y \in I$ și $a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$:
$f(ax + by) \geq af(x) + bf(y)$
Geometric, segmentul care unește orice două puncte pe graficul funcției se află sub sau pe graficul funcției.

În logica matematică, o propoziție este un enunț care are o valoare de adevăr bine definită: fie adevărat, fie fals.
Aceasta este fundamentală pentru construirea argumentelor logice și pentru dezvoltarea teoremelor matematice.

Un predicat în logica matematică este un enunț cu variabile care devine o propoziție când variabilele sunt înlocuite cu valori specifice.
De exemplu, "x este par" este un predicat care devine o propoziție când x este înlocuit cu un număr specific.

Operatorii logici fundamentali sunt:
1. Negația ($\neg$): inversează valoarea de adevăr
2. Conjuncția ($\wedge$): "și" logic
3. Disjuncția ($\vee$): "sau" logic
4. Implicația ($\rightarrow$): "dacă..., atunci..."
5. Echivalența ($\leftrightarrow$): "dacă și numai dacă"

Negația logică ($\neg$) inversează valoarea de adevăr a unei propoziții $p$:
$\neg p$ este adevărat când $p$ este fals.
$\neg p$ este fals când $p$ este adevărat.
Se citește "non p" sau "nu p" și este fundamentală în construirea argumentelor logice complexe.

Conjuncția logică ($\wedge$) pentru propozițiile $p$ și $q$:
$p \wedge q$ este adevărat doar când $p$ și $q$ sunt ambele adevărate
Este falsă în toate celelalte cazuri.
Se citește "p și q" și este utilizată pentru a combina condiții ce trebuie îndeplinite simultan.

Disjuncția logică ($\vee$) pentru propozițiile $p$ și $q$:
$p \vee q$ este adevărat când cel puțin una dintre $p$ sau $q$ este adevărată
Este falsă doar când ambele sunt false.
Se citește "p sau q" și este utilizată pentru a exprima alternative sau opțiuni.

Implicația logică ($\rightarrow$) pentru propozițiile $p$ și $q$:
$p \rightarrow q$ este falsă doar când $p$ este adevărat și $q$ este fals.
Este adevărată în toate celelalte cazuri.
Se citește "dacă p, atunci q" și este crucială în formularea teoremelor și condițiilor.

Echivalența logică ($\leftrightarrow$) pentru propozițiile $p$ și $q$:
$p \leftrightarrow q$ este adevărată când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr
Este falsă când au valori de adevăr diferite
Se citește "p dacă și numai dacă q" și indică o relație bidirecțională între propoziții.

Numărul de permutări $P_n$ pentru o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula:
$P_n = n!$
Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care se pot aranja $n$ elemente distincte. Factorialul $n!$ crește foarte rapid odată cu creșterea lui $n$.

Numărul de aranjamente $A_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime de $n$ elemente este:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}, \quad 0 \leq k \leq n$
Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și ordona $k$ elemente din $n$.

Numărul de combinări $C_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime de $n$ elemente este:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \quad 0 \leq k \leq n$
Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta $k$ elemente din $n$, fără a ține cont de ordine.

Formula combinărilor complementare $C_n^k = C_n^{n-k}$ arată că:
Numărul de moduri de a alege $k$ elemente dintr-o mulțime de $n$ elemente este egal cu numărul de moduri de a alege $n-k$ elemente din aceeași mulțime. Aceasta reflectă simetria în selecția de elemente.

Formula de recurență pentru combinări este:
$C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$
Aceasta formează baza triunghiului lui Pascal și arată cum fiecare număr este suma celor două numere de deasupra sa în triunghi.

Binomul lui Newton exprimă dezvoltarea $(a+b)^n$ ca:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Aceasta arată cum se poate expanda puterea unui binom în termeni de coeficienți binomiali și puteri ale $a$ și $b$.

Termenul general (de rang $k+1$) în dezvoltarea binomului lui Newton $(a+b)^n$ este:
$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Aceasta arată structura fiecărui termen în expansiune, combinând coeficienții binomiali cu puterile lui $a$ și $b$.

Coeficienții binomiali în $(a+b)^n$ sunt $C_n^0, C_n^1, C_n^2, ..., C_n^n$. Suma lor este $2^n$, ceea ce rezultă din dezvoltarea $(1+1)^n$. Acești coeficienți formează rândul $n$ din triunghiul lui Pascal.

În dezvoltarea binomului lui Newton:
1. Suma coeficienților de rang impar = Suma coeficienților de rang par
2. Valoarea comună a acestor sume este $2^{n-1}$
Aceasta rezultă din dezvoltarea $(1+1)^n$ și $(1-1)^n$.

Formula de recurență între termeni consecutivi în $(a+b)^n$ este:
$\frac{T_{k+2}}{T_{k+1}} = \frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{b}{a}$ sau
$\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{b}{a}$
Aceasta permite calculul eficient al termenilor succesivi.

Efectivul unei populații statistice P, notat [P], este numărul total de indivizi din acea populație.
Acesta reprezintă măsura fundamentală a dimensiunii populației în studiile statistice și este esențial pentru calculele ulterioare, cum ar fi frecvențele relative.

O clasă a unei populații statistice este o submulțime cu caracteristici distincte.
Efectivul clasei C, notat [C], reprezintă numărul de indivizi din acea clasă.
Clasele sunt fundamentale pentru analizarea structurii și distribuției caracteristicilor în cadrul populației.

Frecvența relativă a clasei C într-o populație P se calculează ca:
$f = \frac{[C]}{[P]}$
Unde [C] este efectivul clasei și [P] este efectivul populației.
Aceasta reprezintă proporția indivizilor din clasa C în raport cu întreaga populație.

Un eșantion (lot) în statistică este o submulțime de indivizi selectați dintr-o populație statistică mai mare.
Eșantioanele sunt utilizate pentru a face inferențe despre întreaga populație atunci când studierea întregii populații nu este fezabilă sau practică.

Media unui eșantion statistic se calculează ca:
$M = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
Unde $x_i$ sunt valorile individuale și $n$ este numărul total de valori.
Media reprezintă valoarea centrală a datelor și este un indicator important al tendinței centrale.

Abaterea medie a unui eșantion se calculează ca:
$A = \frac{|x_1 - M| + |x_2 - M| + ... + |x_n - M|}{n}$
Unde $x_i$ sunt valorile individuale, $M$ este media, și $n$ este numărul total de valori.
Aceasta măsoară dispersia datelor în jurul mediei.

Dispersia unui eșantion statistic se calculează ca:
$D = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k - M)^2}$
Unde $x_k$ sunt valorile individuale, $M$ este media, și $n$ este numărul total de valori.
Dispersia măsoară variabilitatea datelor și este utilizată în multe analize statistice.

Pentru evenimente egal probabile, probabilitatea se definește ca:
$P(A) = \frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} = \frac{m}{n}$
Unde $m$ este numărul de cazuri favorabile și $n$ este numărul total de cazuri posibile.
Această definiție este fundamentală în teoria clasică a probabilităților.

O funcție $P: \mathcal{P}(U) \to \mathbb{R}$ este o probabilitate dacă îndeplinește:
1) $0 \leq P(A) \leq 1$
2) $P(\emptyset) = 0, P(S) = 1$
3) $A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$
4) $A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Aceste axiome definesc fundamentul matematic al teoriei probabilităților.

Probabilitatea condiționată a lui A, dat B, notată $P_B(A)$, se calculează ca:
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, P(B) \neq 0$
Aceasta reprezintă probabilitatea lui A, știind că B s-a întâmplat. Este crucială în analiza dependențelor între evenimente.

Un raport este o comparație între două mărimi de aceeași natură. Matematic, se exprimă ca $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt măsurate în aceeași unitate. Raportul este un număr care indică de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă.

O proporție este o egalitate între două rapoarte: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ Termenii: - $a$ și $d$: extremi - $b$ și $c$: mezi Proporțiile sunt fundamentale în matematică, fiind utilizate în diverse domenii pentru a exprima relații de echivalență între rapoarte.

Proprietatea fundamentală a proporției stabilește că: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ Aceasta înseamnă că produsul mezilor ($b \cdot c$) este egal cu produsul extremilor ($a \cdot d$). Această proprietate este esențială pentru rezolvarea ecuațiilor cu proporții.

Când $b = c$ într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: 1. $b^2 = a \cdot d$ 2. $b = \sqrt{a \cdot d}$, $a > 0$, $b > 0$ 3. $b$ este media geometrică a lui $a$ și $d$ Aceasta arată legătura între proporții și media geometrică.

Proporții derivate cu aceiași termeni: 1. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ 2. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow \frac{d}{a} = \frac{b}{c}$ Inversa unei proporții este tot o proporție. Aceste proprietăți sunt utile în manipularea și rezolvarea ecuațiilor cu proporții.

Proporții derivate cu termeni schimbați: 1. $\frac{a \pm k \cdot b}{b} = \frac{c \pm k \cdot d}{d}$ 2. $\frac{a}{a \pm k \cdot b} = \frac{c}{c \pm k \cdot d}$ 3. $\frac{a \pm k \cdot c}{b \pm k \cdot d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 4. $\frac{a + k \cdot b}{a - k \cdot b} = \frac{c + k \cdot d}{c - k \cdot d}$ Aceste proprietăți extind aplicabilitatea proporțiilor.

Un șir de rapoarte egale se exprimă ca: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3}$ Aceasta arată că suma numeratorilor împărțită la suma numitorilor este egală cu oricare dintre rapoartele individuale din șir.

Pentru a afla un termen necunoscut x în proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: 1. x ca numărător: $x = \frac{b \cdot c}{d}$ 2. x ca numitor: $x = \frac{a \cdot d}{c}$ 3. x în al doilea raport: $x = \frac{b \cdot c}{a}$ sau $x = \frac{a \cdot d}{b}$ Regulă: extrem = $\frac{\text{produsul mezilor}}{\text{celălalt extrem}}$, mez = $\frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}}$

Proporționalitatea directă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = ... = \frac{z}{z'} = p$ Unde $p$ este coeficientul de proporționalitate. Aceasta înseamnă că raportul între elementele corespunzătoare este constant.

Proporționalitatea inversă între $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ există dacă: $a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = ... = z \cdot z'$ Aceasta înseamnă că produsul elementelor corespunzătoare este constant. Pe măsură ce o mărime crește, cealaltă scade proporțional.

Regula de trei simplă pentru mărimi direct proporționale: Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$ Soluție: $\frac{a}{c} = \frac{b}{x} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}$ Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate directă.

Regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale: Dat: $a$ corespunde lui $b$, $c$ corespunde lui $x$ Soluție: $c \cdot x = a \cdot b \Rightarrow x = \frac{a \cdot b}{c}$ Aceasta permite calculul valorii necunoscute $x$ în probleme cu proporționalitate inversă.

Regula de trei compusă se aplică când avem: 1. 3+ mulțimi de elemente 2. Fiecare mulțime are 2 elemente cunoscute, exceptând una cu un element cunoscut și unul necunoscut 3. Se rezolvă aplicând succesiv regula de trei simplă Aceasta este utilă în probleme complexe cu multiple variabile proporționale.

Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este uniunea dintre numerele raționale $\mathbb{Q}$ și iraționale $\mathbb{I}$:
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$
Fiecare punct de pe axa numerică corespunde unui număr real și invers. Aceasta include toate numerele care pot fi reprezentate pe o dreaptă continuă.

Submulțimile principale ale $\mathbb{R}$ sunt:
1. $\mathbb{N}$: numere naturale
2. $\mathbb{Z}$: numere întregi
3. $\mathbb{Q}$: numere raționale
4. $\mathbb{I}$: numere iraționale
Relația: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ și $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$
Aceasta ilustrează structura ierarhică a numerelor reale.

Numerele raționale sunt exprimate ca raport între două întregi:
$q = \frac{a}{b}$, unde $a, b \in \mathbb{Z}$ și $b \neq 0$
Exemple: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{5}{3}$, $2.75 = \frac{11}{4}$
Acestea includ toate fracțiile și zecimalele finite sau periodice.

Numerele iraționale sunt reale ce nu pot fi exprimate ca fracții:
1. $\sqrt{2}$ ≈ 1.4142135...
2. $\pi$ ≈ 3.14159...
3. $e$ ≈ 2.71828...
4. Numărul de aur $\phi$ ≈ 1.61803...
Acestea au zecimale infinite și neperiodice, neputând fi scrise exact ca fracții zecimale finite sau periodice.

Proprietățile fundamentale ale $\mathbb{R}$ includ:
1. Închidere la adunare și înmulțire
2. Comutativitate
3. Asociativitate
4. Elemente neutre (0 și 1)
5. Inverse aditive și multiplicative
6. Distributivitate
7. Ordonare
8. Completitudine
Aceste proprietăți definesc structura algebrică și topologică a numerelor reale.

Valoarea absolută $|x|$ este distanța de la $x$ la 0 pe axa reală.
Definiție: $|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0
-x, & x < 0 \end{cases}$
Proprietăți cheie:
1. $|x| \geq 0$
2. $|x| = |-x|$
3. $|xy| = |x||y|$
4. $|x+y| \leq |x|+|y|$
Acestea sunt esențiale în analiză și geometrie.

Numerele naturale $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ sunt folosite pentru numărare.
Caracteristici:
1. Mulțime infinită
2. Are cel mai mic element (1)
3. Închisă la adunare și înmulțire
4. Bază pentru inducția matematică
Notă: Uneori 0 e inclus, notându-se $\mathbb{N}_0$ sau $\mathbb{N} \cup \{0\}$.

Numerele întregi $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ includ negative, zero și pozitive.
Caracteristici:
1. Infinită în ambele direcții
2. Închisă la adunare, scădere, înmulțire
3. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
4. Partiții: $\mathbb{Z}^-$, $\{0\}$, $\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}$
Extinde $\mathbb{N}$ pentru a include operații inverse.

Media aritmetică ($m_a$) este valoarea centrală a unui set de numere, calculată ca suma tuturor valorilor împărțită la numărul de valori. Reprezintă "centrul de greutate" al datelor și este utilizată frecvent în statistică și analiza datelor.

Media aritmetică se calculează astfel:
1. Pentru două numere: $m_a = \frac{x + y}{2}$
2. Pentru n numere: $m_a = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
Aceasta reprezintă suma tuturor valorilor împărțită la numărul de valori.

Media geometrică ($m_g$) este valoarea centrală calculată ca rădăcina de ordinul n din produsul a n numere. Este utilă pentru rate de creștere și în situații unde se lucrează cu rapoarte sau procente.

Media geometrică se calculează astfel:
1. Pentru două numere: $m_g = \sqrt{x \cdot y}, x > 0, y > 0$
2. Pentru n numere: $m_g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}, x_i > 0$
Aceasta reprezintă rădăcina de ordinul n din produsul numerelor.

Media armonică ($m_h$) este inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor date. Este utilă în calculul vitezei medii și în situații care implică rate. Se folosește când se lucrează cu mărimi invers proporționale.

Media armonică se calculează astfel:
1. Pentru două numere: $m_h = \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x+y}, x,y > 0$
2. Pentru n numere: $m_h = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}, x_i > 0$
Este inversul mediei aritmetice a inverselor.

Media ponderată ($m_p$) este o medie care consideră importanța relativă (ponderea) a fiecărei valori. Se folosește când unele valori sunt mai importante sau reprezentative decât altele, cum ar fi în calculul notelor sau în analiza financiară.

Media ponderată se calculează astfel:
1. Pentru două numere: $m_p = \frac{p \cdot x + q \cdot y}{p + q}, p,q > 0$
2. Pentru n numere: $m_p = \frac{p_1x_1 + p_2x_2 + ... + p_nx_n}{p_1 + p_2 + ... + p_n}, p_i > 0$
Unde $p_i$ sunt ponderile asociate fiecărei valori $x_i$.

Media pătratică ($m_{pătratică}$) este rădăcina pătrată din media aritmetică a pătratelor numerelor date. Este utilă în statistică și fizică, în special pentru valori care pot fi pozitive sau negative, cum ar fi în calculul abaterii standard.

Media pătratică pentru două numere se calculează astfel:
$m_{pătratică} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$
Aceasta reprezintă rădăcina pătrată din media aritmetică a pătratelor numerelor. Pentru n numere, formula se generalizează similar.