Primitiva funcției cosinus

Care este primitiva funcției $\cos x$?

Primitiva funcției $\cos x$ este $\int \cos x dx = \sin x + C, \forall x \in \mathbb{R}$

Primitiva funcției cosinus este o formulă fundamentală în calculul integral, având numeroase aplicații practice.

Formula este: $$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Să calculăm primitiva funcției $$\cos 2x$$ pe intervalul $$[0, \frac{\pi}{2}]$$.

Începem calculul pas cu pas:

Facem substituția $$u = 2x$$, astfel $$du = 2dx$$ și $$dx = \frac{du}{2}$$
Aplicăm formula: $$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}\int \cos u \, du$$
Calculăm: $$\frac{1}{2}(\sin u + C) = \frac{1}{2}\sin 2x + C$$
Pentru intervalul $$[0, \frac{\pi}{2}]$$: $$\frac{1}{2}[\sin \pi - \sin 0] = 0$$

Concluzie

Am demonstrat că primitiva funcției $$\cos 2x$$ pe intervalul dat este 0.

Această formulă este esențială în analiza matematică și în studiul oscilațiilor.