Care este primitiva funcției $x^n$?
Primitiva funcției $x^n$ este $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*$
Care este primitiva funcției $x^a$?
Primitiva funcției $x^a$ este $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, \forall x \in I \subset (0, +\infty), a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
Care este primitiva funcției exponențiale $a^x$?
Primitiva funcției exponențiale $a^x$ este $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \forall x \in \mathbb{R}, a \neq 1$
Care este primitiva funcției $\frac{1}{x}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{x}$ este $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C, \forall x \in I, I \subset (-\infty, 0)$ sau $I \subset (0, +\infty)$
Care este primitiva funcției $\frac{1}{x^2-a^2}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{x^2-a^2}$ este $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C, \forall x \in I, I \subset (-\infty, -a)$ sau $I \subset (-a, a)$ sau $I \subset (a, +\infty), a \in \mathbb{R}^*$.
Care este primitiva funcției $\frac{1}{x^2+a^2}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{x^2+a^2}$ este $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C, \forall x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}^*$.
Care este primitiva funcției $\sin x$?
Primitiva funcției $\sin x$ este $\int \sin x dx = -\cos x + C, \forall x \in \mathbb{R}$
Care este primitiva funcției $\cos x$?
Primitiva funcției $\cos x$ este $\int \cos x dx = \sin x + C, \forall x \in \mathbb{R}$
Care este primitiva funcției $\frac{1}{\cos^2 x}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{\cos^2 x}$ este $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tg x + C, \forall x \in I \subset ((2k+1)\frac{\pi}{2}, (2k+3)\frac{\pi}{2}), k \in \mathbb{Z}$ (cos x ≠ 0)
Care este primitiva funcției $\frac{1}{\sin^2 x}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{\sin^2 x}$ este $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\ctg x + C, \forall x \in I \subset (k\pi, (k+1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ (sin x ≠ 0)
Care este primitiva funcției $\tg x$?
Primitiva funcției $\tg x$ este $\int \tg x dx = -\ln|\cos x| + C, \forall x \in I \subset ((2k+1)\frac{\pi}{2}, (2k+3)\frac{\pi}{2}), k \in \mathbb{Z}$ (cos x ≠ 0)
Care este primitiva funcției $\ctg x$?
Primitiva funcției $\ctg x$ este $\int \ctg x dx = \ln|\sin x| + C, \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$ (sin x ≠ 0)
Care este primitiva funcției $\\frac{1}{\\sqrt{x^2+a^2}}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ este $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C, \forall x \in \mathbb{R}, a > 0$
Care este primitiva funcției $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$ este $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C, \forall x \in I, I \subset (-\infty, -a)$ sau $I \subset (a, +\infty), a > 0$
Care este primitiva funcției $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$?
Primitiva funcției $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ este $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C, \forall x \in I, I \subset (-a, a), a > 0$
Care este primitiva funcției $\sqrt{a^2-x^2}$?
Primitiva funcției $\sqrt{a^2-x^2}$ este $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C, \forall x \in I, I \subset (-a, a), a > 0$
Care este primitiva funcției $\sqrt{x^2+a^2}$?
Primitiva funcției $\sqrt{x^2+a^2}$ este $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C, \forall x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}^*$
Care este primitiva funcției $\sqrt{x^2-a^2}$?
Primitiva funcției $\sqrt{x^2-a^2}$ este $\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C, \forall x \in I, I \subset (-\infty, -a)$ sau $I \subset (a, +\infty), a > 0$
Ce este norma unei diviziuni și cum se calculează?
Norma unei diviziuni $\delta$ a intervalului [a,b] este maximul distanțelor dintre punctele consecutive ale diviziunii: $\|\delta\| = \max_{1\leq i\leq n} |x_i - x_{i-1}|$. Aceasta măsoară "finețea" diviziunii.
Cum se definește suma inferioară Darboux?
Suma inferioară Darboux pentru o funcție mărginită $f$ pe o diviziune $\delta$ este $s(f; \delta) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})m_i$, unde $m_i$ este infimul lui $f$ pe $[x_{i-1}, x_i]$. Aceasta aproximează integrala prin defect.
Cum se definește suma superioară Darboux?
Suma superioară Darboux pentru o funcție mărginită $f$ pe o diviziune $\delta$ este $S(f; \delta) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})M_i$, unde $M_i$ este supremul lui $f$ pe $[x_{i-1}, x_i]$. Aceasta aproximează integrala prin exces.
Ce este suma Riemann și cum se calculează?
Suma Riemann pentru o funcție $f$ pe o diviziune $\delta$ cu puncte intermediare $\xi_i$ este $\sigma(f; \delta; \xi_i) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})f(\xi_i)$. Aceasta aproximează integrala folosind valori ale funcției în puncte alese arbitrar.
Cum se definește integrala definită folosind sume Riemann?
Integrala definită a unei funcții $f$ pe $[a,b]$ este $\int_a^b f(x) dx = \lim_{\|\delta_n\| \to 0} \sigma(f; \delta_n; \xi_i^n)$, unde $\delta_n$ sunt diviziuni din ce în ce mai fine și $\xi_i^n$ sunt puncte intermediare arbitrare.
Cum se exprimă proprietatea de liniaritate a integralei definite?
Proprietatea de liniaritate a integralei definite stabilește că $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$ pentru funcții integrabile $f,g$ și constante $\alpha,\beta$. Aceasta permite descompunerea integralelor complexe.
Cum se schimbă valoarea integralei când se inversează limitele de integrare?
Proprietatea de interval a integralei definite stabilește că $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$. Aceasta arată că inversarea limitelor de integrare schimbă semnul integralei, permițând calculul integralelor cu limite inversate.
Cum se calculează o integrală definită folosind o primitivă a funcției?
Formula Leibniz-Newton stabilește că $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$. Aceasta permite calculul rapid al integralelor definite cunoscând o primitivă a funcției.
Cum se exprimă valoarea medie a unei funcții continue pe un interval?
Formula de medie pentru integrale stabilește că $\int_a^b f(x)dx = f(c) \cdot (b-a)$ pentru un anumit $c \in [a,b]$, când $f$ este continuă. Aceasta leagă integrala de valoarea funcției într-un punct reprezentativ.
Cum se aplică metoda integrării prin părți la integrale definite?
Formula de integrare prin părți pentru integrale definite este $\int_a^b f(x) \cdot g'(x)dx = [f(x) \cdot g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x) \cdot g(x)dx$. Aceasta permite calculul integralelor complexe prin transformarea lor în integrale mai simple.
Cum se aplică metoda schimbării de variabilă la integrale definite?
Formula de schimbare de variabilă pentru integrale definite este $\int_a^b (f \circ \varphi)(t) \cdot \varphi'(t)dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx$. Aceasta permite transformarea integralelor complexe în unele mai simple prin substituție.
Cum se calculează aria domeniului cuprins între graficul unei funcții și axa Ox?
Aria domeniului plan $\Gamma_f$ sub graficul funcției continue $f$ pe $[a,b]$ se calculează ca $aria(\Gamma_f) = \int_a^b |f(x)|dx$. Această formulă permite calculul ariilor pentru forme geometrice complexe.
Cum se calculează volumul corpului obținut prin rotația graficului unei funcții în jurul axei Ox?
Volumul corpului $C_f$ generat prin rotația graficului funcției continue $f$ pe $[a,b]$ în jurul axei Ox este $vol(C_f) = \pi \int_a^b f^2(x)dx$. Această formulă permite calculul volumelor pentru forme de rotație complexe.
Cum se calculează lungimea arcului de curbă pentru graficul unei funcții derivabile?
Lungimea arcului $l_f$ pe graficul funcției derivabile $f$ pe $[a,b]$ se calculează ca $l_f = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$. Această formulă permite măsurarea lungimii curbelor complexe în plan.
Cum se definește o primitivă a unei funcții?
O funcție $F: I \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f: I \to \mathbb{R}$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F'(x) = f(x), \forall x \in I$.
Aceasta stabilește relația inversă între derivare și primitivizare.
Ce reprezintă integrala nedefinită a unei funcții?
Integrala nedefinită a unei funcții $f$ care admite primitive este notată $\int f(x) dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.
Aceasta reprezintă mulțimea tuturor primitivelor lui $f$.
Cum se aplică proprietatea de liniaritate la integrala nedefinită?
Proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite stabilește că $\int (f + g)(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ și $\int (\alpha f)(x) dx = \alpha \int f(x) dx$, pentru $\alpha \in \mathbb{R}$.
Aceasta permite descompunerea integralelor complexe.
Cum se aplică metoda schimbării de variabilă pentru primitive?
Formula schimbării de variabilă pentru primitive este $\int (f \circ \varphi)(x) \cdot \varphi'(x) dx = (F \circ \varphi)(x) + C$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.
Aceasta permite simplificarea integralelor prin substituție.
Cum se aplică metoda de integrare prin părți?
Formula de integrare prin părți este $\int u(x) \cdot v'(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) dx$.
Aceasta este utilă pentru integrarea produselor de funcții și se bazează pe regula de derivare a produsului.