Q: Ce afirmă teorema lui Bézout despre rădăcinile unui polinom?

Teorema lui Bézout stabilește că pentru un polinom $f$ și un element $a$ din corpul K, $a$ este rădăcină a lui $f$ (adică $f(a) = 0$) dacă și numai dacă $(X - a)$ divide pe $f$. Aceasta leagă conceptele de rădăcină și divizibilitate pentru polinoame.

Q: Cum se exprimă un polinom complex în termeni de factori liniari?

Un polinom $f$ de grad $n$ peste $\mathbb{C}$ se descompune în factori liniari ca $f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$, unde $x_i$ sunt rădăcinile distincte, $\alpha_i$ sunt multiplicitățile lor, și $\sum \alpha_i = n$. Aceasta este descompunerea completă în factori liniari.

Q: Care este relația între suma rădăcinilor unui polinom și coeficienții săi?

Pentru un polinom $f = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$, suma rădăcinilor sale $x_1, ..., x_n$ este dată de $x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$. Aceasta este prima și cea mai cunoscută dintre relațiile lui Viète, legând rădăcinile de coeficienți.

Q: Cum se exprimă produsul rădăcinilor unui polinom în funcție de coeficienții săi?

Pentru un polinom $f = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$, produsul rădăcinilor sale $x_1, ..., x_n$ este dat de $x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$. Aceasta este ultima dintre relațiile lui Viète, conectând produsul rădăcinilor cu raportul termenului liber și coeficientul dominant.

Question 1

7 Întrebări despre polinoame

Question 2

Ce este un polinom și cum se reprezintă matematic?

Accepted Answer

Un polinom este o expresie matematică de forma $f = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + ... + a_1X + a_0$, unde $a_i$ sunt coeficienți din inelul A, $X$ este nedeterminata, și $n$ este un număr natural reprezentând gradul maxim.

Question 3

Cum se raportează gradul sumei a două polinoame la gradele lor individuale?

Accepted Answer

Pentru polinoame $f$ și $g$ într-un inel de polinoame care este domeniu de integritate, gradul sumei lor respectă egalitatea: $grad(f + g) = grad\ f + grad\ g$. Această proprietate este valabilă doar când inelul de bază este domeniu de integritate.

Question 4

Care este forma generală a teoremei împărțirii cu rest pentru polinoame?

Accepted Answer

Pentru polinoame $f$ și $g 
eq 0$ într-un corp comutativ K, există unice polinoame $q$ și $r$ astfel încât $f = gq + r$, unde $grad\ r < grad\ g$. Aceasta este teorema împărțirii cu rest pentru polinoame, fundamentală în aritmetica polinomială.

Question 5

Ce afirmă teorema lui Bézout despre rădăcinile unui polinom?

Accepted Answer

Teorema lui Bézout stabilește că pentru un polinom $f$ și un element $a$ din corpul K, $a$ este rădăcină a lui $f$ (adică $f(a) = 0$) dacă și numai dacă $(X - a)$ divide pe $f$. Aceasta leagă conceptele de rădăcină și divizibilitate pentru polinoame.

Question 6

Cum se exprimă un polinom complex în termeni de factori liniari?

Accepted Answer

Un polinom $f$ de grad $n$ peste $\mathbb{C}$ se descompune în factori liniari ca $f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$, unde $x_i$ sunt rădăcinile distincte, $\alpha_i$ sunt multiplicitățile lor, și $\sum \alpha_i = n$. Aceasta este descompunerea completă în factori liniari.

Question 7

Care este relația între suma rădăcinilor unui polinom și coeficienții săi?

Accepted Answer

Pentru un polinom $f = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$, suma rădăcinilor sale $x_1, ..., x_n$ este dată de $x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$. Aceasta este prima și cea mai cunoscută dintre relațiile lui Viète, legând rădăcinile de coeficienți.

Question 8

Cum se exprimă produsul rădăcinilor unui polinom în funcție de coeficienții săi?

Accepted Answer

Pentru un polinom $f = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$, produsul rădăcinilor sale $x_1, ..., x_n$ este dat de $x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$. Aceasta este ultima dintre relațiile lui Viète, conectând produsul rădăcinilor cu raportul termenului liber și coeficientul dominant.

Descriere	Formula
Definiția polinomului	$f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + ... + a_{1} X + a_{0}$
Egalitatea gradelor	$g r a d (f + g) = g r a d f + g r a d g$
Teorema împărțirii cu rest	$f = g q + r$
Teorema lui Bézout	$f (a) = 0 ⟺ (X - a) ∣ f$
Descompunerea în factori liniari	$f = a_{n} (X - x_{1})^{α_{1}} (X - x_{2})^{α_{2}} ... (X - x_{k})^{α_{k}}$
Prima relație a lui Viète	$x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}$
Ultima relație a lui Viète	$x_{1} x_{2} ... x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}}$

7 Formule pentru polinoame disponibile

Tabel formule polinoame:

Vezi mai multe formule:

Formule de polinoame adăugate recent:

Definiția polinomului

Egalitatea gradelor

Teorema împărțirii cu rest

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

1 Memorator disponibil care te poate ajuta să înveți mai repede

Polinoame și Inele de Polinoame