Cum se exprimă un polinom complex în termeni de factori liniari?
Un polinom $f$ de grad $n$ peste $\mathbb{C}$ se descompune în factori liniari ca $f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$, unde $x_i$ sunt rădăcinile distincte, $\alpha_i$ sunt multiplicitățile lor, și $\sum \alpha_i = n$. Aceasta este descompunerea completă în factori liniari.
Care este forma algebrică a unui număr complex?
Forma algebrică a unui număr complex $z$ este $z = a + bi$, unde $a$ este partea reală, $b$ este partea imaginară, și $i$ este unitatea imaginară cu proprietatea $i^2 = -1$. Aceasta permite reprezentarea tuturor numerelor complexe în plan.
Ce este conjugatul unui număr complex și cum se calculează?
Pentru un număr complex $z = a + bi$, conjugatul său este $\overline{z} = a - bi$. Conjugatul are multe proprietăți utile, cum ar fi $z + \overline{z} = 2a$ și $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$, care sunt folosite frecvent în calcule.
Cum se calculează modulul unui număr complex?
Modulul unui număr complex $z = a + bi$ este definit ca $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Acesta reprezintă distanța de la originea planului complex la punctul reprezentat de $z$ și are multe proprietăți importante în analiza complexă.
Care este inegalitatea triunghiului pentru numere complexe?
Inegalitatea triunghiului pentru numere complexe $z_1$ și $z_2$ este $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. Aceasta generalizează inegalitatea triunghiului din geometrie și este fundamentală în analiza complexă.
Cum se determină afixul unui punct care împarte un segment în geometria complexă?
Pentru un segment $[M_1M_2]$ cu afixele $z_1$ și $z_2$, punctul $M$ care împarte segmentul în raportul $k = \frac{MM_1}{MM_2}$ are afixul $z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$. Această formulă este utilă în probleme de geometrie analitică complexă.
Cum se determină coordonatele centrului de greutate al unui triunghi în geometria complexă?
Pentru un triunghi cu vârfurile $M_1(z_1), M_2(z_2), M_3(z_3)$, afixul centrului de greutate este $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$. Aceasta este media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri în plan complex.
Care este ecuația cercului în geometria complexă?
Ecuația cercului cu centrul $M_1(z_1)$ și raza $r > 0$ în geometria complexă este $|z - z_1| = r$, unde $z$ reprezintă un punct oarecare de pe cerc. Această formă compactă este utilă în multe probleme de geometrie complexă.
Cum se calculează argumentul unui unghi în geometria complexă?
Pentru unghiul $\angle M_3M_1M_2$, argumentul său se calculează ca $m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$, unde $z_1, z_2, z_3$ sunt afixele punctelor $M_1, M_2, M_3$. Aceasta permite calculul unghiurilor direct din coordonatele complexe.
Care este forma trigonometrică a unui număr complex?
Forma trigonometrică a unui număr complex $z$ este $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, unde $r = |z|$ este modulul și $\varphi$ este argumentul. Această formă este esențială pentru operații precum ridicarea la putere și extragerea rădăcinilor.
Cum se înmulțesc numerele complexe în formă trigonometrică?
Pentru $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ și $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, produsul lor este $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]$. Această formulă simplifică înmulțirea prin adunarea argumentelor.
Care este formula lui Moivre pentru ridicarea la putere a numerelor complexe?
Formula lui Moivre stabilește că pentru un număr complex $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$, putem calcula $z_1^n = r_1^n(\cos n\varphi_1 + i \sin n\varphi_1)$, unde $n \in \mathbb{N}^*$. Aceasta simplifică semnificativ calculul puterilor numerelor complexe.
Ce este unitatea imaginară (i) și cum este definită?
Unitatea imaginară, notată cu $i$, este definită ca $\sqrt{-1}$.
Este o constantă fundamentală în studiul numerelor complexe, permițând rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.