Înapoi la toate formulele

13 Formule pentru numere complexe disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de numere complexe

Tabel formule numere complexe:

DescriereFormula
Descompunerea în factori liniari$f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$
Forma algebrică a numărului complex$z = a + bi$
Conjugatul unui număr complex$\overline{z} = a - bi$
Modulul unui număr complex$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Inegalitatea triunghiului pentru numere complexe$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
Afixul punctului care împarte un segment$z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$
Centrul de greutate al unui triunghi$z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$
Ecuația cercului în plan complex$|z - z_1| = r$
Argumentul unui unghi în plan complex$m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$
Forma trigonometrică a numărului complex$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$
Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]$
Formula lui Moivre$z_1^n = r_1^n(\cos n\varphi_1 + i \sin n\varphi_1)$
Unitatea imaginară$i = \sqrt{-1}$

Formule de numere complexe adăugate recent:

Descompunerea în factori liniari

Forma factorizată a unui polinom complex
$f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$

Forma algebrică a numărului complex

Reprezentarea algebrică a unui număr complex
$z = a + bi$

Conjugatul unui număr complex

Definiția conjugatului unui număr complex
$\overline{z} = a - bi$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

3 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit
Acest pachet conține flaschard-uri despre numerele complexe, incluzând forma algebrică, aplicații în geometria plană și forma trigonometrică a numerelor complexe.
12 flashcard-uri în pachet
~4 minute de studiu
Gratuit
Acest pachet conține flashcard-uri despre polinoame, inele de polinoame și polinoame cu coeficienți complecși.
16 flashcard-uri în pachet
~5 minute de studiu
Gratuit
Acest pachet conține flashcarduri despre principiul inducției matematice, regula produsului, probleme de numărare și convenții matematice.
8 flashcard-uri în pachet
~2 minute de studiu

13 Întrebări despre numere complexe

Cum se exprimă un polinom complex în termeni de factori liniari?

Un polinom $f$ de grad $n$ peste $\mathbb{C}$ se descompune în factori liniari ca $f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$, unde $x_i$ sunt rădăcinile distincte, $\alpha_i$ sunt multiplicitățile lor, și $\sum \alpha_i = n$. Aceasta este descompunerea completă în factori liniari.

Care este forma algebrică a unui număr complex?

Forma algebrică a unui număr complex $z$ este $z = a + bi$, unde $a$ este partea reală, $b$ este partea imaginară, și $i$ este unitatea imaginară cu proprietatea $i^2 = -1$. Aceasta permite reprezentarea tuturor numerelor complexe în plan.

Ce este conjugatul unui număr complex și cum se calculează?

Pentru un număr complex $z = a + bi$, conjugatul său este $\overline{z} = a - bi$. Conjugatul are multe proprietăți utile, cum ar fi $z + \overline{z} = 2a$ și $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$, care sunt folosite frecvent în calcule.

Cum se calculează modulul unui număr complex?

Modulul unui număr complex $z = a + bi$ este definit ca $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Acesta reprezintă distanța de la originea planului complex la punctul reprezentat de $z$ și are multe proprietăți importante în analiza complexă.

Care este inegalitatea triunghiului pentru numere complexe?

Inegalitatea triunghiului pentru numere complexe $z_1$ și $z_2$ este $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. Aceasta generalizează inegalitatea triunghiului din geometrie și este fundamentală în analiza complexă.

Cum se determină afixul unui punct care împarte un segment în geometria complexă?

Pentru un segment $[M_1M_2]$ cu afixele $z_1$ și $z_2$, punctul $M$ care împarte segmentul în raportul $k = \frac{MM_1}{MM_2}$ are afixul $z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$. Această formulă este utilă în probleme de geometrie analitică complexă.

Cum se determină coordonatele centrului de greutate al unui triunghi în geometria complexă?

Pentru un triunghi cu vârfurile $M_1(z_1), M_2(z_2), M_3(z_3)$, afixul centrului de greutate este $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$. Aceasta este media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri în plan complex.

Care este ecuația cercului în geometria complexă?

Ecuația cercului cu centrul $M_1(z_1)$ și raza $r > 0$ în geometria complexă este $|z - z_1| = r$, unde $z$ reprezintă un punct oarecare de pe cerc. Această formă compactă este utilă în multe probleme de geometrie complexă.

Cum se calculează argumentul unui unghi în geometria complexă?

Pentru unghiul $\angle M_3M_1M_2$, argumentul său se calculează ca $m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$, unde $z_1, z_2, z_3$ sunt afixele punctelor $M_1, M_2, M_3$. Aceasta permite calculul unghiurilor direct din coordonatele complexe.

Care este forma trigonometrică a unui număr complex?

Forma trigonometrică a unui număr complex $z$ este $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, unde $r = |z|$ este modulul și $\varphi$ este argumentul. Această formă este esențială pentru operații precum ridicarea la putere și extragerea rădăcinilor.

Cum se înmulțesc numerele complexe în formă trigonometrică?

Pentru $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ și $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, produsul lor este $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]$. Această formulă simplifică înmulțirea prin adunarea argumentelor.

Care este formula lui Moivre pentru ridicarea la putere a numerelor complexe?

Formula lui Moivre stabilește că pentru un număr complex $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$, putem calcula $z_1^n = r_1^n(\cos n\varphi_1 + i \sin n\varphi_1)$, unde $n \in \mathbb{N}^*$. Aceasta simplifică semnificativ calculul puterilor numerelor complexe.

Ce este unitatea imaginară (i) și cum este definită?

Unitatea imaginară, notată cu $i$, este definită ca $\sqrt{-1}$.
Este o constantă fundamentală în studiul numerelor complexe, permițând rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.