Înapoi la toate formulele

13 Formule pentru numere complexe disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de numere complexe

Tabel formule numere complexe:

DescriereFormula
Descompunerea în factori liniari
$f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$
Forma algebrică a numărului complex
$z = a + bi$
Conjugatul unui număr complex
$\overline{z} = a - bi$
Modulul unui număr complex
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Inegalitatea triunghiului pentru numere complexe
$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
Afixul punctului care împarte un segment
$z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$
Centrul de greutate al unui triunghi
$z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$
Ecuația cercului în plan complex
$|z - z_1| = r$
Argumentul unui unghi în plan complex
$m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$
Forma trigonometrică a numărului complex
$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$
Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică
$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]$
Formula lui Moivre
$z_1^n = r_1^n(\cos n\varphi_1 + i \sin n\varphi_1)$
Unitatea imaginară
$i = \sqrt{-1}$

Vezi mai multe formule:

PolinoameAlgebraMatematicaAnaliza MatematicaGeometrieTrigonometrieConstante Matematice

Formule de numere complexe adăugate recent:

Descompunerea în factori liniari

Forma factorizată a unui polinom complex
$f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$

Forma algebrică a numărului complex

Reprezentarea algebrică a unui număr complex
$z = a + bi$

Conjugatul unui număr complex

Definiția conjugatului unui număr complex
$\overline{z} = a - bi$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

Începe gratuit

3 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit

Inducție Matematică și Probleme Simple de Numărare

Acest pachet conține flashcarduri despre principiul inducției matematice, regula produsului, probleme de numărare și convenții matematice.
8 flashcard-uri în pachet
~2 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Numere Complexe

Acest pachet conține flaschard-uri despre numerele complexe, incluzând forma algebrică, aplicații în geometria plană și forma trigonometrică a numerelor complexe.
12 flashcard-uri în pachet
~4 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Polinoame și Inele de Polinoame

Acest pachet conține flashcard-uri despre polinoame, inele de polinoame și polinoame cu coeficienți complecși.
16 flashcard-uri în pachet
~5 minute de studiu
Vezi detalii

13 Întrebări despre numere complexe

Cum se exprimă un polinom complex în termeni de factori liniari?

Un polinom $f$ de grad $n$ peste $\mathbb{C}$ se descompune în factori liniari ca $f = a_n (X-x_1)^{\alpha_1} (X-x_2)^{\alpha_2} ...(X-x_k)^{\alpha_k}$, unde $x_i$ sunt rădăcinile distincte, $\alpha_i$ sunt multiplicitățile lor, și $\sum \alpha_i = n$. Aceasta este descompunerea completă în factori liniari.

Care este forma algebrică a unui număr complex?

Forma algebrică a unui număr complex $z$ este $z = a + bi$, unde $a$ este partea reală, $b$ este partea imaginară, și $i$ este unitatea imaginară cu proprietatea $i^2 = -1$. Aceasta permite reprezentarea tuturor numerelor complexe în plan.

Ce este conjugatul unui număr complex și cum se calculează?

Pentru un număr complex $z = a + bi$, conjugatul său este $\overline{z} = a - bi$. Conjugatul are multe proprietăți utile, cum ar fi $z + \overline{z} = 2a$ și $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$, care sunt folosite frecvent în calcule.

Cum se calculează modulul unui număr complex?

Modulul unui număr complex $z = a + bi$ este definit ca $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Acesta reprezintă distanța de la originea planului complex la punctul reprezentat de $z$ și are multe proprietăți importante în analiza complexă.

Care este inegalitatea triunghiului pentru numere complexe?

Inegalitatea triunghiului pentru numere complexe $z_1$ și $z_2$ este $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. Aceasta generalizează inegalitatea triunghiului din geometrie și este fundamentală în analiza complexă.

Cum se determină afixul unui punct care împarte un segment în geometria complexă?

Pentru un segment $[M_1M_2]$ cu afixele $z_1$ și $z_2$, punctul $M$ care împarte segmentul în raportul $k = \frac{MM_1}{MM_2}$ are afixul $z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$. Această formulă este utilă în probleme de geometrie analitică complexă.

Cum se determină coordonatele centrului de greutate al unui triunghi în geometria complexă?

Pentru un triunghi cu vârfurile $M_1(z_1), M_2(z_2), M_3(z_3)$, afixul centrului de greutate este $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$. Aceasta este media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri în plan complex.

Care este ecuația cercului în geometria complexă?

Ecuația cercului cu centrul $M_1(z_1)$ și raza $r > 0$ în geometria complexă este $|z - z_1| = r$, unde $z$ reprezintă un punct oarecare de pe cerc. Această formă compactă este utilă în multe probleme de geometrie complexă.

Cum se calculează argumentul unui unghi în geometria complexă?

Pentru unghiul $\angle M_3M_1M_2$, argumentul său se calculează ca $m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$, unde $z_1, z_2, z_3$ sunt afixele punctelor $M_1, M_2, M_3$. Aceasta permite calculul unghiurilor direct din coordonatele complexe.

Care este forma trigonometrică a unui număr complex?

Forma trigonometrică a unui număr complex $z$ este $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, unde $r = |z|$ este modulul și $\varphi$ este argumentul. Această formă este esențială pentru operații precum ridicarea la putere și extragerea rădăcinilor.

Cum se înmulțesc numerele complexe în formă trigonometrică?

Pentru $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ și $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, produsul lor este $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]$. Această formulă simplifică înmulțirea prin adunarea argumentelor.

Care este formula lui Moivre pentru ridicarea la putere a numerelor complexe?

Formula lui Moivre stabilește că pentru un număr complex $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$, putem calcula $z_1^n = r_1^n(\cos n\varphi_1 + i \sin n\varphi_1)$, unde $n \in \mathbb{N}^*$. Aceasta simplifică semnificativ calculul puterilor numerelor complexe.

Ce este unitatea imaginară (i) și cum este definită?

Unitatea imaginară, notată cu $i$, este definită ca $\sqrt{-1}$.
Este o constantă fundamentală în studiul numerelor complexe, permițând rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.