Cum se aplică regula lui l'Hôpital pentru calculul limitelor nedeterminate?
Regula lui l'Hôpital afirmă că pentru limite de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, dacă există limita raportului derivatelor, atunci: $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$. Aceasta permite transformarea unei limite nedeterminate într-una determinată folosind derivatele funcțiilor.
Cum se determină o asimptotă orizontală a unei funcții?
O asimptotă orizontală $y = y_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$. Poate exista la $\pm\infty$, $\mp\infty$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $y = y_0$ pentru valori foarte mari sau foarte mici ale lui x.
Cum se determină o asimptotă verticală a unei funcții?
O asimptotă verticală $x = x_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$. Poate fi la stânga $(x \to x_0^-)$, la dreapta $(x \to x_0^+)$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $x = x_0$, cu valori ce tind la infinit.
Cum se determină o asimptotă oblică a unei funcții?
O asimptotă oblică y = mx + n a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0$, unde m = $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)/x$ și n = $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$. Graficul funcției se apropie asimptotic de această dreaptă pentru valori foarte mari ale lui |x|.
Cum se definește formal limita unui șir?
Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ are limita $a$ dacă $\forall \varepsilon > 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}$ astfel încât $\forall n \geq n_\varepsilon, |a_n - a| < \varepsilon$. Aceasta înseamnă că termenii șirului se apropie arbitrar de mult de $a$ pentru $n$ suficient de mare.
Care este criteriul majorării pentru convergența șirurilor?
Dacă $|a_n - a| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ și $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = a$. Acest criteriu permite demonstrarea convergenței unui șir prin comparație cu un alt șir convergent la zero.
Ce afirmă teorema de comparare pentru șiruri convergente?
Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente și $a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$. Această teoremă permite compararea limitelor a două șiruri.
Ce afirmă criteriul raportului pentru convergența șirurilor?
Dacă $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Acest criteriu este util pentru determinarea convergenței șirurilor cu termeni pozitivi.
Cum se calculează limita sumei a două șiruri convergente?
Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei sumei prin sumarea limitelor individuale.
Cum se calculează limita produsului a două șiruri convergente?
Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei produsului prin înmulțirea limitelor individuale.
Care este limita remarcabilă care definește numărul e?
Limita $\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ definește numărul e, baza logaritmilor naturali. Această limită este fundamentală în analiza matematică și are numeroase aplicații.
Cum se definește matematic continuitatea unei funcții într-un punct?
Continuitatea unei funcții $f$ într-un punct de acumulare $x_0$ este definită astfel: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Aceasta înseamnă că limita funcției când x se apropie de $x_0$ este egală cu valoarea funcției în $x_0$.
Cum se definește matematic derivata unei funcții într-un punct?
Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca limita $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$, dacă această limită există și este finită. Aceasta reprezintă rata de variație instantanee a funcției în punctul $x_0$.
Cum se definește formal limita unei funcții într-un punct?
Limita unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este $l$ dacă pentru orice șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ din domeniul lui $f$ cu $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l$. Formal: $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$.
Ce este limita la stânga a unei funcții?
Limita la stânga a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_s$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n < x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_s$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$ sau $f(x_0 - 0)$.
Ce este limita la dreapta a unei funcții?
Limita la dreapta a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_d$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n > x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_d$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$ sau $f(x_0 + 0)$.
Care este limita lui $\frac{\sin x}{x}$ când x tinde la 0?
Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\sin u(x)}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.
Care este limita lui $\frac{\tg x}{x}$ când x tinde la 0?
Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\tg u(x)}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.
Care este limita lui $left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ când x tinde la infinit?
Limita remarcabilă: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \left(1 + \frac{1}{u(x)}\right)^{u(x)} = e$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = \pm\infty$.
Care este limita lui $\frac{\ln(1+x)}{x}$ când x tinde la 0?
Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.