Înapoi la toate formulele

20 Formule pentru limite disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de limite

Tabel formule limite:

DescriereFormula

Regula lui l'Hôpital

$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$

Asimptotă orizontală

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$

Asimptotă verticală

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$

Asimptotă oblică

$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0$

Definiția limitei unui șir (ε-δ)

$\forall \varepsilon > 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \text{ astfel încât } \forall n \geq n_\varepsilon, |a_n - a| < \varepsilon$

Criteriul majorării

$|a_n - a| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N} \text{ și } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = a$

Teorema de comparare

$a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$

Criteriul raportului (D'Alembert)

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = 0$

Limita sumei

$\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n$

Limita produsului

$\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n$

Limita remarcabilă pentru e

$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Definiția continuității

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Definiția derivatei

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$

Definiția limitei unei funcții

$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$

Limita la stânga

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$

Limita la dreapta

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$

Limita $\frac{\sin x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Limita $\frac{\tg x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$

Limita $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

Limita $\frac{\ln(1+x)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

Vezi mai multe formule:

DerivateAnaliza MatematicaMatematicaAsimptoteSiruriLimite RemarcabileFunctii ContinueFunctiiTrigonometrieSinusTangentaLogaritmi

Formule de limite adăugate recent:

Regula lui l'Hôpital

Metoda de calcul a limitelor de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$

$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$

Asimptotă orizontală

Definiția asimptotei orizontale a unei funcții

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$

Asimptotă verticală

Definiția asimptotei verticale a unei funcții

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

Începe gratuit

5 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit

Șiruri, limite de șiruri, operații cu șiruri, limite remarcabile

Acest pachet conține flashcard-uri despre șiruri, limite de șiruri, operații cu șiruri, limite remarcabile, monotonie, convergență, divergență și criterii asociate.
35 flashcard-uri în pachet
~11 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Limite de Funcții

Acest pachet conține flashcard-uri despre limite de funcții, incluzând definiții, proprietăți și limite remarcabile.
15 flashcard-uri în pachet
~5 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcții Continue

Acest pachet conține flashcard-uri despre funcții continue, incluzând definiții, proprietăți și teoreme importante.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcții Derivabile

Acest pachet conține flashcard-uri despre funcții derivabile, incluzând definiții, proprietăți, teoreme și reguli de derivare.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Teoreme și Concepte legate de Derivate

Acest pachet conține flashcard-uri despre teoremele importante și conceptele legate de studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor.
18 flashcard-uri în pachet
~6 minute de studiu
Vezi detalii

20 Întrebări despre limite

Cum se aplică regula lui l'Hôpital pentru calculul limitelor nedeterminate?

Regula lui l'Hôpital afirmă că pentru limite de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, dacă există limita raportului derivatelor, atunci: $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$. Aceasta permite transformarea unei limite nedeterminate într-una determinată folosind derivatele funcțiilor.

Cum se determină o asimptotă orizontală a unei funcții?

O asimptotă orizontală $y = y_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$. Poate exista la $\pm\infty$, $\mp\infty$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $y = y_0$ pentru valori foarte mari sau foarte mici ale lui x.

Cum se determină o asimptotă verticală a unei funcții?

O asimptotă verticală $x = x_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$. Poate fi la stânga $(x \to x_0^-)$, la dreapta $(x \to x_0^+)$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $x = x_0$, cu valori ce tind la infinit.

Cum se determină o asimptotă oblică a unei funcții?

O asimptotă oblică y = mx + n a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0$, unde m = $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)/x$ și n = $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$. Graficul funcției se apropie asimptotic de această dreaptă pentru valori foarte mari ale lui |x|.

Cum se definește formal limita unui șir?

Un șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ are limita $a$ dacă $\forall \varepsilon > 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}$ astfel încât $\forall n \geq n_\varepsilon, |a_n - a| < \varepsilon$. Aceasta înseamnă că termenii șirului se apropie arbitrar de mult de $a$ pentru $n$ suficient de mare.

Care este criteriul majorării pentru convergența șirurilor?

Dacă $|a_n - a| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$ și $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = a$. Acest criteriu permite demonstrarea convergenței unui șir prin comparație cu un alt șir convergent la zero.

Ce afirmă teorema de comparare pentru șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente și $a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$. Această teoremă permite compararea limitelor a două șiruri.

Ce afirmă criteriul raportului pentru convergența șirurilor?

Dacă $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1$, atunci $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Acest criteriu este util pentru determinarea convergenței șirurilor cu termeni pozitivi.

Cum se calculează limita sumei a două șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei sumei prin sumarea limitelor individuale.

Cum se calculează limita produsului a două șiruri convergente?

Dacă $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ și $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sunt două șiruri convergente, atunci $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n$. Această proprietate permite calculul limitei produsului prin înmulțirea limitelor individuale.

Care este limita remarcabilă care definește numărul e?

Limita $\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ definește numărul e, baza logaritmilor naturali. Această limită este fundamentală în analiza matematică și are numeroase aplicații.

Cum se definește matematic continuitatea unei funcții într-un punct?

Continuitatea unei funcții $f$ într-un punct de acumulare $x_0$ este definită astfel: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Aceasta înseamnă că limita funcției când x se apropie de $x_0$ este egală cu valoarea funcției în $x_0$.

Cum se definește matematic derivata unei funcții într-un punct?

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca limita $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$, dacă această limită există și este finită. Aceasta reprezintă rata de variație instantanee a funcției în punctul $x_0$.

Cum se definește formal limita unei funcții într-un punct?

Limita unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este $l$ dacă pentru orice șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ din domeniul lui $f$ cu $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l$. Formal: $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$.

Ce este limita la stânga a unei funcții?

Limita la stânga a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_s$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n < x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_s$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$ sau $f(x_0 - 0)$.

Ce este limita la dreapta a unei funcții?

Limita la dreapta a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_d$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n > x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_d$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$ sau $f(x_0 + 0)$.

Care este limita lui $\frac{\sin x}{x}$ când x tinde la 0?

Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\sin u(x)}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.

Care este limita lui $\frac{\tg x}{x}$ când x tinde la 0?

Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\tg u(x)}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.

Care este limita lui $left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ când x tinde la infinit?

Limita remarcabilă: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \left(1 + \frac{1}{u(x)}\right)^{u(x)} = e$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = \pm\infty$.

Care este limita lui $\frac{\ln(1+x)}{x}$ când x tinde la 0?

Limita remarcabilă: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Generalizare: $\lim_{x \to a} \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)} = 1$, dacă $\lim_{x \to a} u(x) = 0$.