Cum se notează un vector legat în matematică?
Un vector legat se notează ca $\overrightarrow{AB}$, unde A este originea și B este extremitatea vectorului. Această notație indică direcția, sensul și mărimea vectorului, fiind esențială în geometria vectorială.
Care sunt notațiile pentru lungimea unui vector legat?
Lungimea unui vector legat $\overrightarrow{AB}$ se poate nota în mai multe moduri echivalente: $|\overrightarrow{AB}| = \|\overrightarrow{AB}\| = d(A, B) = AB$. Acestea reprezintă distanța dintre punctele A și B, fiind esențiale în calculele vectoriale.
Cum se exprimă matematic raportul în care un punct împarte un segment orientat?
Raportul în care punctul M împarte segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$ se exprimă prin formula $\overrightarrow{MA} = k \cdot \overrightarrow{MB}$, unde k este raportul de împărțire. Această relație este fundamentală în studiul segmentelor orientate și al vectorilor.
Care este formula pentru poziția unui punct care împarte un segment orientat într-un raport dat?
Poziția punctului M care împarte segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$ în raportul k se exprimă prin formula: $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{1-k}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{1-k}\overrightarrow{OB}$. Această teoremă este esențială în geometria vectorială pentru determinarea poziției punctelor pe segmente.
Cum se calculează vectorul de poziție al punctului de concurență a trei ceviene într-un triunghi?
Pentru punctul M de concurență a cevienelor AA', BB', CC' în triunghiul ABC, vectorul de poziție este $\vec{r}_M = \frac{k_1\vec{r}_A + k_2\vec{r}_B + k_3\vec{r}_C}{k_1 + k_2 + k_3}$, unde k1, k2, k3 sunt rapoartele de împărțire ale cevienelor.
Care este enunțul teoremei lui Ceva pentru ceviene concurente într-un triunghi?
Teorema lui Ceva afirmă că trei ceviene AA', BB', CC' sunt concurente în triunghiul ABC dacă și numai dacă $\frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} \cdot \frac{AC'}{C'B} = 1$. Această relație oferă o condiție algebrică pentru concurența cevienelor.
Cum se exprimă teorema bisectoarei folosind vectori?
Teorema bisectoarei afirmă că pentru bisectoarea AD în triunghiul ABC, avem relația $\overrightarrow{AD}(b+c) = b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}$, unde b și c sunt lungimile laturilor AC și AB. Aceasta leagă vectorii și lungimile laturilor în triunghi.
Care este prima relație a lui Sylvester pentru triunghiuri?
Prima relație a lui Sylvester afirmă că $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = 2\overrightarrow{HO}$, unde H este ortocentrul și O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Aceasta leagă punctele notabile ale triunghiului.
Care este a doua relație a lui Sylvester pentru triunghiuri?
A doua relație a lui Sylvester afirmă că $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OH}$, unde O este centrul cercului circumscris și H este ortocentrul triunghiului ABC. Aceasta completează prima relație, oferind o perspectivă vectorială asupra geometriei triunghiului.
Cum se calculează lungimea (norma) unui vector în plan?
Lungimea (norma) unui vector $\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j}$ în plan se calculează ca $\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Această formulă derivă din teorema lui Pitagora și este fundamentală în geometria analitică plană.
Cum se calculează lungimea (norma) unui vector în spațiu tridimensional?
Lungimea (norma) unui vector $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ în spațiu se calculează ca $\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Aceasta este o extensie tridimensională a teoremei lui Pitagora.
Cum se calculează produsul scalar a doi vectori în spațiu tridimensional?
Produsul scalar a doi vectori $\vec{v_1}(x_1, y_1, z_1)$ și $\vec{v_2}(x_2, y_2, z_2)$ în spațiu se calculează ca $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Această formulă extinde expresia analitică a produsului scalar din plan în spațiul tridimensional.
Cum se calculează aria domeniului cuprins între graficul unei funcții și axa Ox?
Aria domeniului plan $\Gamma_f$ sub graficul funcției continue $f$ pe $[a,b]$ se calculează ca $aria(\Gamma_f) = \int_a^b |f(x)|dx$. Această formulă permite calculul ariilor pentru forme geometrice complexe.
Cum se calculează volumul corpului obținut prin rotația graficului unei funcții în jurul axei Ox?
Volumul corpului $C_f$ generat prin rotația graficului funcției continue $f$ pe $[a,b]$ în jurul axei Ox este $vol(C_f) = \pi \int_a^b f^2(x)dx$. Această formulă permite calculul volumelor pentru forme de rotație complexe.
Cum se calculează lungimea arcului de curbă pentru graficul unei funcții derivabile?
Lungimea arcului $l_f$ pe graficul funcției derivabile $f$ pe $[a,b]$ se calculează ca $l_f = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$. Această formulă permite măsurarea lungimii curbelor complexe în plan.
Cum se determină afixul unui punct care împarte un segment în geometria complexă?
Pentru un segment $[M_1M_2]$ cu afixele $z_1$ și $z_2$, punctul $M$ care împarte segmentul în raportul $k = \frac{MM_1}{MM_2}$ are afixul $z = \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}$. Această formulă este utilă în probleme de geometrie analitică complexă.
Cum se determină coordonatele centrului de greutate al unui triunghi în geometria complexă?
Pentru un triunghi cu vârfurile $M_1(z_1), M_2(z_2), M_3(z_3)$, afixul centrului de greutate este $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$. Aceasta este media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri în plan complex.
Care este ecuația cercului în geometria complexă?
Ecuația cercului cu centrul $M_1(z_1)$ și raza $r > 0$ în geometria complexă este $|z - z_1| = r$, unde $z$ reprezintă un punct oarecare de pe cerc. Această formă compactă este utilă în multe probleme de geometrie complexă.
Cum se calculează argumentul unui unghi în geometria complexă?
Pentru unghiul $\angle M_3M_1M_2$, argumentul său se calculează ca $m(\angle M_3M_1M_2) = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$, unde $z_1, z_2, z_3$ sunt afixele punctelor $M_1, M_2, M_3$. Aceasta permite calculul unghiurilor direct din coordonatele complexe.
Ce este numărul de aur (φ) și care este valoarea sa aproximativă?
Numărul de aur, notat cu $\phi$, este o constantă matematică cu valoarea aproximativă $1,61803$.
Este întâlnit în geometrie și în natură, reprezentând un raport considerat estetic plăcut.
Se calculează ca $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Care este valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a lui 2 și unde apare frecvent?
Rădăcina pătrată a lui 2, notată $\sqrt{2}$, are valoarea aproximativă $1,41421$. Apare frecvent în geometrie, de exemplu ca lungimea diagonalei unui pătrat cu latura 1.
Este un număr irațional.
Care este valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a lui 3 și în ce domenii este întâlnită?
Rădăcina pătrată a lui 3, notată $\sqrt{3}$, are valoarea aproximativă $1,73205$.
Este întâlnită în trigonometrie și în studiul triunghiului echilateral, reprezentând raportul dintre înălțime și jumătate din bază.
Cum se notează coordonatele unui punct în plan?
Coordonatele unui punct M în plan se notează ca un cuplu ordonat $(x_M, y_M)$, unde $x_M$ este abscisa (coordonata pe axa Ox) și $y_M$ este ordonata (coordonata pe axa Oy).
Care sunt semnele coordonatelor unui punct în fiecare cadran al planului cartezian?
Semnele coordonatelor $(x_M, y_M)$ în cadranele planului cartezian sunt: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-). Acest tabel ajută la identificarea rapidă a cadranului în care se află un punct, bazat pe semnele coordonatelor sale.
Cum se calculează distanța dintre două puncte în plan?
Distanța dintre două puncte $M_1(x_1, y_1)$ și $M_2(x_2, y_2)$ în plan se calculează folosind formula: $M_1M_2 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Această formulă este o aplicație a teoremei lui Pitagora în planul cartezian.
Cum se notează coordonatele unui punct în spațiu?
Coordonatele unui punct M în spațiu se notează ca un triplet ordonat $(x_M, y_M, z_M)$, unde $x_M$ este abscisa, $y_M$ este ordonata, și $z_M$ este cota (coordonata pe axa Oz).
Care sunt semnele coordonatelor unui punct în fiecare octant al spațiului tridimensional?
Semnele coordonatelor $(x_M, y_M, z_M)$ în octanții spațiului tridimensional sunt: I(+,+,+), II(-,+,+), III(-,-,+), IV(+,-,+), V(+,+,-), VI(-,+,-), VII(-,-,-), VIII(+,-,-). Acest tabel ajută la identificarea rapidă a octantului în care se află un punct, bazat pe semnele coordonatelor sale.
Cum se calculează distanța dintre două puncte în spațiu?
Distanța dintre două puncte $M_1(x_1, y_1, z_1)$ și $M_2(x_2, y_2, z_2)$ în spațiu se calculează folosind formula: $M_1M_2 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$. Această formulă este o extensie tridimensională a formulei pentru distanța în plan.
Cum se notează măsura unui unghi?
Măsura unui unghi AOB se notează $m(\sphericalangle AOB)$ sau $\widehat{AOB}$, unde A și B sunt puncte pe laturile unghiului, iar O este vârful.
Cât măsoară un unghi alungit?
Un unghi alungit măsoară întotdeauna 180°. Este format din două semidrepte opuse.
Cât măsoară un unghi nul?
Un unghi nul măsoară 0°. Este format din două semidrepte care se suprapun complet.
Cât măsoară un unghi drept?
Un unghi drept măsoară întotdeauna 90°. Laturile sale sunt perpendiculare.
Cât măsoară un unghi complet (în jurul unui punct)?
Un unghi complet, format din rotația completă a unei semidrepte în jurul originii sale, măsoară 360°.
Cum se definește matematic un unghi ascuțit?
Un unghi ascuțit este definit matematic ca un unghi cu măsura între 0° și 90°, exclusiv: $0° < m(\sphericalangle AOB) < 90°$.
Cum se definește matematic un unghi obtuz?
Un unghi obtuz este definit matematic ca un unghi cu măsura între 90° și 180°, exclusiv: $90° < m(\sphericalangle AOB) < 180°$.
Care este relația matematică dintre unghiurile complementare?
Unghiurile complementare sunt două unghiuri a căror sumă este 90°. Matematic, se exprimă astfel: $m(\sphericalangle AOB) + m(\sphericalangle A'OB') = 90°$.
Care este relația matematică dintre unghiurile suplementare?
Unghiurile suplementare sunt două unghiuri a căror sumă este 180°. Matematic, se exprimă astfel: $m(\sphericalangle AOB) + m(\sphericalangle A'OB') = 180°$.
Care este relația matematică dintre unghiurile opuse la vârf?
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente (egale ca măsură). Matematic, se exprimă astfel: $m(\sphericalangle AOB) = m(\sphericalangle A'OB')$.
Cum se calculează măsura unui unghi exterior al unui triunghi?
Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente lui. Formula: $m(\sphericalangle 4) = m(\sphericalangle 1) + m(\sphericalangle 2)$, unde 4 este unghiul exterior, iar 1 și 2 sunt unghiurile interioare neadiacente.
Care este suma unghiurilor într-un patrulater convex?
Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este întotdeauna 360°. Formula: $m(\sphericalangle A) + m(\sphericalangle B) + m(\sphericalangle C) + m(\sphericalangle D) = 360°$, unde A, B, C, D sunt unghiurile patrulaterului.
Cum se calculează suma unghiurilor într-un poligon convex cu n laturi?
Suma măsurilor tuturor unghiurilor dintr-un poligon convex cu n laturi este dată de formula: $\sum_{i=1}^n m(\sphericalangle i) = (n - 2) \cdot 180°$, unde n este numărul de laturi ale poligonului.
Cum se notează matematic că două puncte A și B sunt distincte?
Pentru a indica că două puncte A și B sunt distincte, se folosește notația $A \neq B$. Aceasta înseamnă că punctele A și B nu ocupă aceeași poziție în spațiu.
Cum se notează matematic că două puncte A și B sunt confundate (identice)?
Pentru a indica că două puncte A și B sunt confundate (identice), se folosește notația $A = B$. Aceasta înseamnă că punctele A și B ocupă exact aceeași poziție în spațiu.
Cum se notează un segment de dreaptă deschis între punctele A și B?
Un segment de dreaptă deschis între punctele A și B se notează $(AB)$. Această notație indică porțiunea de dreaptă între A și B, excluzând punctele A și B.
Cum se notează un segment de dreaptă închis între punctele A și B?
Un segment de dreaptă închis între punctele A și B se notează $[AB]$. Această notație indică porțiunea de dreaptă între A și B, incluzând punctele A și B.
Cum se notează un segment de dreaptă semideschis între punctele A și B?
Un segment de dreaptă semideschis între punctele A și B se notează $[AB)$ sau $(AB]$. Notația $[AB)$ indică că segmentul include A dar exclude B, în timp ce $(AB]$ indică că segmentul exclude A dar include B.
Cum se notează că două segmente AB și CD sunt congruente?
Pentru a indica că două segmente AB și CD sunt congruente (au aceeași lungime), se folosește notația $[AB] \equiv [CD]$. Aceasta înseamnă că segmentele AB și CD au exact aceeași lungime.