Ce este și cum se notează mulțimea vidă?
Mulțimea vidă, notată cu $\emptyset$, este mulțimea care nu conține niciun element. Este un concept fundamental în teoria mulțimilor, reprezentând absența totală a elementelor.
Cum se notează faptul că un element aparține unei mulțimi?
Notația $a \in E$ înseamnă că elementul $a$ aparține mulțimii $E$. Aceasta este o relație fundamentală în teoria mulțimilor, indicând că $a$ este un membru al mulțimii $E$.
Cum se notează faptul că un element nu aparține unei mulțimi?
Notația $a \notin E$ înseamnă că elementul $a$ nu aparține mulțimii $E$. Aceasta indică că $a$ nu este un membru al mulțimii $E$, fiind complementară relației de apartenență.
Cum se notează faptul că o mulțime este inclusă în alta?
Notația $A \subset B$ înseamnă că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$. Aceasta indică că toate elementele lui $A$ sunt și elemente ale lui $B$, dar $B$ poate avea și elemente suplimentare.
Cum se definește reuniunea a două mulțimi?
Reuniunea mulțimilor $A$ și $B$, notată $A \cup B$, este definită ca $A \cup B = \{x | x \in A \text{ sau } x \in B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime care conține toate elementele din $A$ sau din $B$ (sau din ambele), luate o singură dată.
Cum se definește intersecția a două mulțimi?
Intersecția mulțimilor $A$ și $B$, notată $A \cap B$, este definită ca $A \cap B = \{x | x \in A \text{ și } x \in B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime care conține toate elementele comune mulțimilor $A$ și $B$.
Ce sunt mulțimile disjuncte și cum se notează?
Două mulțimi $A$ și $B$ sunt disjuncte dacă nu au niciun element comun, adică dacă $A \cap B = \emptyset$. Acest concept este important în teoria mulțimilor pentru a descrie relații între mulțimi care nu se suprapun.
Cum se definește diferența dintre două mulțimi?
Diferența mulțimilor $A$ și $B$, notată $A - B$, este definită ca $A - B = \{x | x \in A \text{ și } x \notin B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime formată din elementele lui $A$ care nu sunt în $B$.
Ce este o lege de compoziție și cum se definește formal?
O lege de compoziție pe mulțimea $M$ este o funcție $*: M \times M \to M$. Aceasta asociază fiecărei perechi $(x,y)$ din $M \times M$ un element $x * y$ din $M$. Este o operație binară pe mulțimea $M$.
Ce este o parte stabilă a unei mulțimi în raport cu o operație?
O submulțime nevidă $H$ a lui $M$ este o parte stabilă în raport cu operația $*$ dacă $(\forall) x, y \in H \Rightarrow x * y \in H$. Aceasta înseamnă că $H$ este închisă sub operația $*$.
Când se numește o operație asociativă?
O operație $*$ pe $M$ este asociativă dacă $(x * y) * z = x * (y * z), (\forall) x, y, z \in M$. Aceasta permite gruparea termenilor în orice ordine fără a afecta rezultatul.
Ce înseamnă că o operație este comutativă?
O operație $*$ pe $M$ este comutativă dacă $x * y = y * x, (\forall) x, y \in M$. Aceasta permite schimbarea ordinii elementelor în operație fără a afecta rezultatul.
Ce este un element neutru într-o lege de compoziție?
Un element $e \in M$ este neutru pentru operația $*$ dacă $x * e = e * x = x, (\forall) x \in M$. Elementul neutru nu modifică alte elemente când este folosit în operație.
Ce este un element simetrizabil într-o lege de compoziție?
Un element $x \in M$ este simetrizabil dacă există $x^{-1} \in M$ astfel încât $x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$, unde $e$ este elementul neutru. $x^{-1}$ se numește simetricul lui $x$.
Cum se definește mulțimea numerelor raționale?
Mulțimea numerelor raționale este definită ca $Q = \{\frac{m}{n} | m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*\}$, unde $m$ este un număr întreg și $n$ este un număr natural nenul.
Cum se definește mulțimea numerelor naturale?
Mulțimea numerelor naturale se definește ca $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$, incluzând toate numerele întregi nenegative.
Cum se definește o mulțime simetrică?
O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ este simetrică dacă și numai dacă $\forall x \in A \Rightarrow -x \in A$. Aceasta înseamnă că pentru fiecare element din $A$, opusul său este de asemenea în $A$.
Cum se definește o funcție pară?
O funcție $f : A \to B$ este pară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = f(x), \forall x \in A$.
Cum se definește o funcție impară?
O funcție $f : A \to B$ este impară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = -f(x), \forall x \in A$.
Cum se definește mulțimea numerelor reale?
Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este definită ca reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ și mulțimea numerelor iraționale $\mathbb{I}$: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.
Care este relația de incluziune între submulțimile principale ale numerelor reale?
Relația de incluziune între submulțimile principale ale numerelor reale este: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, unde $\mathbb{N}$ sunt numerele naturale, $\mathbb{Z}$ sunt numerele întregi, $\mathbb{Q}$ sunt numerele raționale și $\mathbb{R}$ sunt numerele reale.