Care este formula de calcul prescurtat pentru pătratul sumei sau diferenței a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru pătratul sumei sau diferenței a două numere este $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru cubul sumei sau diferenței a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru cubul sumei sau diferenței a două numere este $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru diferența pătratelor a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru diferența pătratelor a două numere este $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru diferența cuburilor a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru diferența cuburilor a două numere este $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru suma cuburilor a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru suma cuburilor a două numere este $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru diferența puterilor a două numere?
Formula de calcul prescurtat pentru diferența puterilor a două numere este $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru suma puterilor a două numere, unde exponentul este impar?
Formula de calcul prescurtat pentru suma puterilor a două numere, unde exponentul este impar este $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru pătratul sumei a trei numere?
Formula de calcul prescurtat pentru pătratul sumei a trei numere este $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.
Care este formula de calcul prescurtat pentru cubul sumei a trei numere minus de trei ori produsul celor trei numere?
Formula de calcul prescurtat pentru cubul sumei a trei numere minus de trei ori produsul celor trei numere este $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$.
Care este definiția modulului unui număr real?
Modulul sau valoarea absolută a unui număr real este distanța, pe axa numerelor reale, dintre reprezentarea numărului și origine.
Cum se calculează derivata funcției putere cu exponent real?
Derivata funcției putere $x^r$, unde r este un număr real, este: $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$, pentru $x > 0$. Această formulă se aplică pentru orice exponent real, generalizând regula pentru exponenți naturali.
Care este semnificația geometrică a radicalului din 2?
$\sqrt{2}$ reprezintă raportul dintre diagonala și latura unui pătrat. Valoarea sa este aproximativ 1,4142... Este un exemplu clasic de număr irațional, demonstrat prin reductio ad absurdum.
Ce reprezintă numărul π și care este valoarea sa aproximativă?
$\pi$ reprezintă raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc.
Este un număr irațional cu valoarea aproximativă de 3,1415...
Are aplicații vaste în matematică, fizică și inginerie.
Cum se formează mulțimea numerelor reale (R)?
Mulțimea numerelor reale (R) se formează din reuniunea mulțimii numerelor raționale (Q) cu mulțimea numerelor iraționale (R \ Q).
Formal, $R = Q \cup (R \setminus Q)$.
Aceasta include toate numerele de pe axa reală.
Cum se înmulțesc două radicale?
Pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$, regula de înmulțire a radicalilor este: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Această proprietate este fundamentală în operațiile cu radicali.
Cum se exprimă radicalul unui pătrat perfect în termeni de modul?
Pentru orice $x \in R$, avem: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Această relație leagă conceptul de radical cu cel de valoare absolută, fiind esențială în rezolvarea ecuațiilor cu radicali.
Cum se împart două radicale?
Pentru $a \geq 0$ și $b > 0$, regula de împărțire a radicalilor este: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Această proprietate permite simplificarea expresiilor cu radicali în numitor.
Cum se simplifică un radical de ordin n dintr-o putere n?
Pentru $x \geq 0$ și $n \in N, n \geq 2$, avem: $\sqrt[n]{x^n} = x$.
Această proprietate este esențială în simplificarea expresiilor cu radicali de ordin superior.
Cum se raționalizează un numitor care conține un radical?
Pentru $b > 0$, raționalizarea numitorului se face astfel: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$.
Această tehnică este utilă pentru simplificarea fracțiilor cu radicali în numitor.
Care este forma generală a ecuației de gradul al II-lea?
Forma generală a ecuației de gradul al II-lea este $ax^2 + bx + c = 0$, unde $a \neq 0$ și $a,b,c \in \mathbb{R}$.
Aceasta reprezintă o relație între o variabilă $x$ și coeficienții $a$, $b$, și $c$.
Ce reprezintă forma canonică a ecuației de gradul al II-lea?
Forma canonică a ecuației de gradul al II-lea este $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$ este discriminantul.
Aceasta evidențiază vârful parabolei asociate.
Cum se calculează discriminantul unei ecuații de gradul al II-lea?
Discriminantul $\Delta$ al ecuației $ax^2 + bx + c = 0$ se calculează cu formula $\Delta = b^2 - 4ac$.
Semnul lui $\Delta$ determină natura soluțiilor ecuației.
Care este formula pentru soluțiile ecuației de gradul al II-lea?
Soluțiile ecuației $ax^2 + bx + c = 0$ sunt date de formula $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$.
Această formulă este validă când $\Delta \geq 0$.
Ce sunt relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al II-lea?
Relațiile lui Viète pentru ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ sunt:
suma rădăcinilor $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ și produsul rădăcinilor $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Acestea leagă rădăcinile de coeficienții ecuației.
Ce este mulțimea numerelor întregi și cum se notează?
Mulțimea numerelor întregi, notată Z, include numerele întregi negative, zero și numerele întregi pozitive: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Aceasta reprezintă o extensie a numerelor naturale.
Cum se definește modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg?
Modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg a, notată |a|, este distanța de la origine la a pe axa numerelor.
Se definește ca: $|a| = \begin{cases} a, & \text{dacă } a \geq 0 \\ 0, & \text{dacă } a = 0 \\ -a, & \text{dacă } a < 0 \end{cases}$
Cum se calculează modulul unui produs de numere reale?
Modulul unui produs este egal cu produsul modulelor factorilor: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ pentru orice numere reale a și b.
Această proprietate este utilă în simplificarea expresiilor care conțin module.
Cum se calculează modulul unui raport de numere reale?
Modulul unui raport este egal cu raportul modulelor: $left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ pentru orice numere reale a și b, cu b ≠ 0.
Această proprietate este utilă în simplificarea fracțiilor care conțin module.
Care este relația dintre modulul unei sume și suma modulelor termenilor?
Inegalitatea triunghiului stabilește că: $|a| - |b| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$ pentru orice numere reale a și b.
Aceasta arată că modulul unei sume este cuprins între diferența și suma modulelor termenilor.
Cum se definește puterea unui număr întreg cu exponent număr natural?
Puterea unui număr întreg a cu exponent natural n, notată $a^n$, reprezintă produsul a n factori egali cu a: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{de n ori}}$, pentru a ≠ 0 și n > 0.
Pentru n = 0, $a^0 = 1$ pentru orice a ≠ 0.
Cum se înmulțesc două puteri cu aceeași bază?
Când înmulțim puteri cu aceeași bază, adunăm exponenții: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă simplifică calculele cu puteri.
Cum se ridică la putere o putere?
Când ridicăm o putere la o altă putere, înmulțim exponenții: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă este utilă în simplificarea expresiilor cu puteri.
Ce este și cum se notează mulțimea vidă?
Mulțimea vidă, notată cu $\emptyset$, este mulțimea care nu conține niciun element. Este un concept fundamental în teoria mulțimilor, reprezentând absența totală a elementelor.
Cum se notează faptul că un element aparține unei mulțimi?
Notația $a \in E$ înseamnă că elementul $a$ aparține mulțimii $E$. Aceasta este o relație fundamentală în teoria mulțimilor, indicând că $a$ este un membru al mulțimii $E$.
Cum se notează faptul că un element nu aparține unei mulțimi?
Notația $a \notin E$ înseamnă că elementul $a$ nu aparține mulțimii $E$. Aceasta indică că $a$ nu este un membru al mulțimii $E$, fiind complementară relației de apartenență.
Cum se notează faptul că o mulțime este inclusă în alta?
Notația $A \subset B$ înseamnă că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$. Aceasta indică că toate elementele lui $A$ sunt și elemente ale lui $B$, dar $B$ poate avea și elemente suplimentare.
Cum se definește reuniunea a două mulțimi?
Reuniunea mulțimilor $A$ și $B$, notată $A \cup B$, este definită ca $A \cup B = \{x | x \in A \text{ sau } x \in B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime care conține toate elementele din $A$ sau din $B$ (sau din ambele), luate o singură dată.
Cum se definește intersecția a două mulțimi?
Intersecția mulțimilor $A$ și $B$, notată $A \cap B$, este definită ca $A \cap B = \{x | x \in A \text{ și } x \in B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime care conține toate elementele comune mulțimilor $A$ și $B$.
Ce sunt mulțimile disjuncte și cum se notează?
Două mulțimi $A$ și $B$ sunt disjuncte dacă nu au niciun element comun, adică dacă $A \cap B = \emptyset$. Acest concept este important în teoria mulțimilor pentru a descrie relații între mulțimi care nu se suprapun.
Cum se definește diferența dintre două mulțimi?
Diferența mulțimilor $A$ și $B$, notată $A - B$, este definită ca $A - B = \{x | x \in A \text{ și } x \notin B\}$. Aceasta reprezintă o nouă mulțime formată din elementele lui $A$ care nu sunt în $B$.
Ce este o lege de compoziție și cum se definește formal?
O lege de compoziție pe mulțimea $M$ este o funcție $*: M \times M \to M$. Aceasta asociază fiecărei perechi $(x,y)$ din $M \times M$ un element $x * y$ din $M$. Este o operație binară pe mulțimea $M$.
Ce este o parte stabilă a unei mulțimi în raport cu o operație?
O submulțime nevidă $H$ a lui $M$ este o parte stabilă în raport cu operația $*$ dacă $(\forall) x, y \in H \Rightarrow x * y \in H$. Aceasta înseamnă că $H$ este închisă sub operația $*$.
Când se numește o operație asociativă?
O operație $*$ pe $M$ este asociativă dacă $(x * y) * z = x * (y * z), (\forall) x, y, z \in M$. Aceasta permite gruparea termenilor în orice ordine fără a afecta rezultatul.
Ce înseamnă că o operație este comutativă?
O operație $*$ pe $M$ este comutativă dacă $x * y = y * x, (\forall) x, y \in M$. Aceasta permite schimbarea ordinii elementelor în operație fără a afecta rezultatul.
Ce este un element neutru într-o lege de compoziție?
Un element $e \in M$ este neutru pentru operația $*$ dacă $x * e = e * x = x, (\forall) x \in M$. Elementul neutru nu modifică alte elemente când este folosit în operație.
Ce este un element simetrizabil într-o lege de compoziție?
Un element $x \in M$ este simetrizabil dacă există $x^{-1} \in M$ astfel încât $x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$, unde $e$ este elementul neutru. $x^{-1}$ se numește simetricul lui $x$.
Cum se definește matematic divizibilitatea unui număr natural?
Divizibilitatea unui număr natural se definește astfel: un număr natural $a$ se divide cu un număr natural $b$ dacă există un număr natural $c$, astfel încât $a = b \cdot c$. În acest caz, $a$ este un multiplu al lui $b$ și $b$ este un divizor al lui $a$.
Care este regula de divizibilitate pentru zero?
Regula de divizibilitate pentru zero stabilește că zero este divizibil cu orice număr natural, exprimată matematic ca $a | 0$. Aceasta este o proprietate fundamentală în teoria divizibilității numerelor naturale.
Care este relația matematică între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru două numere?
Relația matematică între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru două numere $a$ și $b$ este: $c.m.m.d.c.(a, b) \cdot c.m.m.m.c.(a, b) = a \cdot b$. Această formulă leagă cele două concepte importante în teoria divizibilității.
Cum se calculează media aritmetică pentru două numere?
Media aritmetică pentru două numere se calculează astfel: $m_a = \frac{x + y}{2}$. Această formulă reprezintă suma celor două numere împărțită la 2, oferind o valoare centrală între ele.
Cum se calculează media aritmetică pentru n numere?
Media aritmetică pentru n numere se calculează cu formula: $m_a = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$. Aceasta reprezintă suma tuturor valorilor împărțită la numărul total de valori.
Cum se calculează media geometrică pentru două numere pozitive?
Media geometrică pentru două numere pozitive se calculează cu formula: $m_g = \sqrt{x \cdot y}$, unde $x > 0$ și $y > 0$. Aceasta reprezintă rădăcina pătrată a produsului celor două numere.
Cum se calculează media geometrică pentru n numere pozitive?
Media geometrică pentru n numere pozitive se calculează cu formula: $m_g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$, unde $x_1, x_2, ..., x_n > 0$. Este rădăcina de ordin n din produsul tuturor numerelor.
Cum se calculează media armonică pentru două numere pozitive?
Media armonică pentru două numere pozitive se calculează cu formula: $m_h = \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x+y}$, unde $x, y > 0$. Reprezintă inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor.
Cum se calculează media armonică pentru n numere pozitive?
Media armonică pentru n numere pozitive se calculează cu formula: $m_h = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$, unde $x_1, x_2, ..., x_n > 0$. Este inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor.
Cum se calculează media ponderată pentru două numere?
Media ponderată pentru două numere se calculează cu formula: $m_p = \frac{p \cdot x + q \cdot y}{p + q}$, unde $p, q > 0$ sunt ponderile. Aceasta ia în considerare importanța relativă a fiecărei valori.
Cum se calculează media ponderată pentru n numere?
Media ponderată pentru n numere se calculează cu formula: $m_p = \frac{p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 + ... + p_n \cdot x_n}{p_1 + p_2 + ... + p_n}$, unde $p_i > 0$ sunt ponderile. Aceasta reflectă importanța relativă a fiecărei valori în set.
Cum se calculează media pătratică pentru două numere?
Media pătratică pentru două numere se calculează cu formula: $m_{pătratică} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. Aceasta reprezintă rădăcina pătrată din media aritmetică a pătratelor numerelor date.
Cum se rezolvă un sistem de ecuații cu o ecuație liniară și una pătratică?
Pentru sistemul $\begin{cases}mx + n = y \\ax^2 + bx + c = y\end{cases}$, soluția este $S = \{(x_1, mx_1 + n); (x_2, mx_2 + n)\}$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$.
Care este forma generală a unei ecuații de gradul I cu o necunoscută?
Forma generală a unei ecuații de gradul I cu o necunoscută este $ax + b = 0$, unde $a \neq 0$ și $a, b \in \mathbb{R}$. Aici, $a$ este coeficientul necunoscutei, iar $b$ este termenul liber.
Cum se rezolvă o ecuație de gradul I cu o necunoscută?
O ecuație de gradul I $ax + b = 0$ se rezolvă astfel: $ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$, unde $a \neq 0$. Ecuația are întotdeauna o soluție unică pentru $a \neq 0$.
Care este forma generală a unei inecuații de gradul I cu o necunoscută?
Forma generală a unei inecuații de gradul I cu o necunoscută este $ax + b > 0$, unde $a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$. Semnul poate fi $>, \geq, <, \leq$.
Cum se rezolvă o inecuație de gradul I cu o necunoscută?
O inecuație de gradul I $ax + b > 0$ se rezolvă astfel: $ax > -b \Rightarrow x > -\frac{b}{a}$, unde $a \neq 0$. Notă: Dacă $a < 0$, sensul inegalității se schimbă când împărțim cu $a$.
Care este forma generală a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute?
Forma generală a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute este: $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$. Acesta poate fi rezolvat prin metoda substituției, reducerii sau grafică.
Cum se calculează derivata funcției u^r, unde r este un număr real?
Derivata funcției $u^r$, unde $r$ este un număr real, se calculează astfel: $(u^r)' = ru^{r-1} \cdot u'$, unde $r \in \mathbb{R}$.
Care sunt notațiile matematice pentru divizibilitate?
Notațiile matematice pentru divizibilitate sunt: $a : b$ (a este divizibil cu b) sau $b | a$ (b divide a). Aceste simboluri exprimă relația de divizibilitate între două numere naturale, unde a este multiplu al lui b.
Cum se definește mulțimea divizorilor unui număr natural?
Mulțimea divizorilor unui număr natural $a$ se definește ca $D_a = \{x | x | a, x \in \mathbb{N}\}$. Aceasta include toți divizorii proprii și improprii ai lui $a$. De exemplu, pentru 12: $D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Cum se definește mulțimea multiplilor unui număr natural?
Mulțimea multiplilor unui număr natural $a$ se definește ca $M_a = \{a \cdot n | n \in \mathbb{N}\}$. Această mulțime conține toate numerele naturale care sunt divizibile cu $a$. De exemplu, pentru 2: $M_2 = \{0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...\}$, unde $n \in \mathbb{N}$.
Cum se notează cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)?
Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) se notează ca $(a, b) = d$ sau $\text{c.m.m.d.c.}(a, b) = d$, unde $d$ este cel mai mare număr natural care divide atât pe $a$, cât și pe $b$. De exemplu, $(18, 27) = 9$ sau c.m.m.d.c.(18, 27) = 9.
Cum se notează cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)?
Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) se notează ca $[a, b] = m$ sau $\text{c.m.m.m.c.}(a, b) = m$, unde $m$ este cel mai mic număr natural diferit de zero care este divizibil atât cu $a$, cât și cu $b$. De exemplu, $[4, 6] = 12$ sau c.m.m.m.c.(4, 6) = 12.
Care este criteriul de divizibilitate cu 2?
Criteriul de divizibilitate cu 2 este: un număr este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Matematic, scriem $2 | n$, unde $n$ este numărul verificat și simbolul $|$ înseamnă "divide", adică 2 divide n.
Care este criteriul de divizibilitate cu 3?
Criteriul de divizibilitate cu 3 este: un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Matematic, scriem $3 | (d_1 + d_2 + ... + d_k)$, unde $d_1, d_2, ..., d_k$ sunt cifrele numărului, adică 3 divide suma cifrelor.
Care este criteriul de divizibilitate cu 4?
Criteriul de divizibilitate cu 4 este: un număr este divizibil cu 4 dacă numărul format de ultimele două cifre este divizibil cu 4 sau ambele sunt zero. Matematic: $4 | (10a + b)$, unde $a$ și $b$ sunt ultimele două cifre.
Care este criteriul de divizibilitate cu 5?
Criteriul de divizibilitate cu 5 este: un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Matematic, scriem $5 | n$ sau $10 | (n - 5)$, unde $n$ este numărul verificat.
Care este criteriul de divizibilitate cu 6?
Criteriul de divizibilitate cu 6 este: un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 3. Matematic, scriem $2 | n$ și $3 | n$, unde $n$ este numărul verificat.
Care este criteriul de divizibilitate cu 8?
Criteriul de divizibilitate cu 8 este: un număr este divizibil cu 8 dacă numărul format de ultimele trei cifre este divizibil cu 8 sau toate sunt zero. Matematic, scriem $8 | (100a + 10b + c)$, unde $a$, $b$, și $c$ sunt ultimele trei cifre.
Care este criteriul de divizibilitate cu 9?
Criteriul de divizibilitate cu 9 este: un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Matematic, scriem $9 | (d_1 + d_2 + ... + d_k)$, unde $d_1, d_2, ..., d_k$ sunt cifrele numărului.
Care este criteriul de divizibilitate cu 11?
Criteriul de divizibilitate cu 11 este: un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cifrelor de pe poziții impare și suma cifrelor de pe poziții pare este 0, 11 sau multiplu de 11. Matematic, scriem $11 | (d_1 - d_2 + d_3 - d_4 + ...)$, unde $d_1, d_2, ...$ sunt cifrele numărului.
Care este criteriul de divizibilitate cu 25?
Criteriul de divizibilitate cu 25 este: un număr este divizibil cu 25 dacă numărul format de ultimele două cifre este divizibil cu 25 sau ambele sunt zero. Matematic, scriem $25 | (100a + b)$, unde $a$ și $b$ sunt ultimele două cifre.
Care este criteriul de divizibilitate cu 125?
Criteriul de divizibilitate cu 125 este: un număr este divizibil cu 125 dacă numărul format de ultimele trei cifre este divizibil cu 125 sau toate sunt zero. Matematic, scriem $125 | (1000a + 100b + 10c + d)$, unde $a$, $b$, $c$, și $d$ sunt ultimele patru cifre.
Care este criteriul de divizibilitate cu puteri ale lui 10?
Criteriul de divizibilitate cu puteri ale lui 10 este: un număr este divizibil cu $10^k$ dacă ultimele $k$ cifre ale numărului sunt zero. Matematic, scriem $10^k | n$, unde $n$ este numărul verificat și $k$ este puterea lui 10, adică 10 la puterea k divide n.
Care este criteriul general de divizibilitate cu 7, 11 și 13?
Criteriul general de divizibilitate cu 7, 11 și 13 este: un număr este divizibil cu 7, 11 sau 13 dacă diferența dintre numărul A (format de ultimele trei cifre) și numărul B (format de celelalte cifre) este 0 sau divizibilă cu 7, 11 sau 13. Matematic, scriem $7 | (A - B)$ sau $11 | (A - B)$ sau $13 | (A - B)$, adică 7, 11 sau 13 divide diferența dintre A și B.
Care este mulțimea soluțiilor ecuației sin x = a?
Pentru $a \in [-1, 1]$, mulțimea soluțiilor ecuației $\sin x = a$ este $S = \{(-1)^k \cdot \arcsin a + k\pi | k \in \mathbb{Z}\} = \{\arcsin a + 2k\pi | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi - \arcsin a + 2k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
Care este mulțimea soluțiilor ecuației cos x = b?
Pentru $b \in [-1, 1]$, mulțimea soluțiilor ecuației $\cos x = b$ este $S = \{\pm \arccos b + 2k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
Care este mulțimea soluțiilor ecuației tg x = c?
Pentru orice $c \in \mathbb{R}$, mulțimea soluțiilor ecuației $\tg x = c$ este $S = \{\arctg c + k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
Care este forma generală a inegalității mediei aritmetice și geometrice?
Inegalitatea mediei aritmetice și geometrice pentru n numere pozitive $a_1, a_2, ..., a_n$ este: $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$. Egalitatea se obține când toate numerele sunt egale.
Cum se scrie inegalitatea mediei aritmetice și geometrice pentru două numere?
Pentru două numere pozitive $a$ și $b$, inegalitatea mediei aritmetice și geometrice este: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$. Egalitatea se obține când $a = b$.
Cum se aplică inegalitatea mediei aritmetice și geometrice pentru trei numere?
Pentru trei numere pozitive $a$, $b$ și $c$, inegalitatea mediei aritmetice și geometrice este: $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$. Egalitatea se obține când $a = b = c$.
Cum se reprezintă o fracție în matematică?
O fracție se reprezintă ca $\frac{a}{b}$, unde $a$ este numărătorul, $b$ este numitorul, $a, b \in \mathbb{N}$, și $b \neq 0$. Linia de fracție semnifică operația de împărțire.
Cum se simplifică o fracție?
O fracție se simplifică prin împărțirea numărătorului și a numitorului la cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.). Formula este $\frac{a}{b} = \frac{a:d}{b:d}$, unde $d|a$ și $d|b$, $d \neq 0$.
Cum se amplifică o fracție?
O fracție se amplifică prin înmulțirea numărătorului și a numitorului cu același număr diferit de zero. Formula este $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$, unde $c \neq 0$.
Cum se definește mulțimea numerelor raționale?
Mulțimea numerelor raționale este definită ca $Q = \{\frac{m}{n} | m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*\}$, unde $m$ este un număr întreg și $n$ este un număr natural nenul.
Care este elementul neutru al adunării pentru numerele raționale?
Numărul rațional 0 este elementul neutru al adunării: $\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$, oricare ar fi $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$.
Cum se realizează scoaterea întregilor dintr-o fracție?
Scoaterea întregilor se face împărțind numărătorul la numitor: $\frac{D}{I} = C + \frac{R}{I}$, unde C este partea întreagă, R este restul, I este împărțitorul, și R < I.
Cum se introduc întregii în fracție?
Introducerea întregilor în fracție se face prin formula: $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$, unde $a$ este numărul întreg, iar $\frac{b}{c}$ este fracția.
Cum se realizează scăderea fracțiilor cu același numitor?
Scăderea fracțiilor cu același numitor se face prin scăderea numărătorilor și păstrarea numitorului comun: $\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n}$.
Cum se realizează scăderea fracțiilor cu numitori diferiți?
Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți se face prin aducerea la același numitor: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$.
Cum se înmulțește un număr natural cu o fracție?
Înmulțirea unui număr natural cu o fracție se face prin formula: $a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$, unde $a$ este numărul natural.
Cum se calculează produsul a două fracții?
Produsul a două fracții se calculează prin formula: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$, înmulțind numărătorii între ei și numitorii între ei.
Cum se realizează împărțirea a două fracții?
Împărțirea a două fracții se face prin înmulțirea primei fracții cu inversa celei de-a doua: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
Cum se calculează puterea n a unei fracții?
Puterea n a unei fracții se calculează prin formula: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, unde $n$ este exponentul puterii.
Cum se calculează produsul de puteri cu aceeași bază?
Produsul de puteri cu aceeași bază se calculează prin formula: $\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$, adunând exponenții.
Cum se calculează puterea la putere pentru fracții?
Puterea la putere pentru fracții se calculează prin formula: $\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n}$, înmulțind exponenții.
Care este formula pentru radicalii compuși?
Formula pentru radicalii compuși este: $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$, unde $a^2 \ge b$.
Cum se definește mulțimea numerelor naturale?
Mulțimea numerelor naturale se definește ca $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$, incluzând toate numerele întregi nenegative.
Cum se definește o mulțime simetrică?
O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ este simetrică dacă și numai dacă $\forall x \in A \Rightarrow -x \in A$. Aceasta înseamnă că pentru fiecare element din $A$, opusul său este de asemenea în $A$.
Cum se definește o funcție pară?
O funcție $f : A \to B$ este pară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = f(x), \forall x \in A$.
Cum se definește o funcție impară?
O funcție $f : A \to B$ este impară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = -f(x), \forall x \in A$.
Ce este un raport în matematică?
Un raport între două mărimi $a$ și $b$ de aceeași natură, măsurate cu aceeași unitate de măsură, este câtul $\frac{a}{b}$ și reprezintă un număr.
Ce este o proporție în matematică?
O proporție este o egalitate a două rapoarte, exprimată matematic ca $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, unde $a$ și $d$ sunt extremii, iar $b$ și $c$ sunt mezii proporției.
Care este proprietatea fundamentală a proporției?
Proprietatea fundamentală a proporției stabilește că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.
Dacă $\ rac{a}{b} = \frac{c}{d}$, atunci $a \cdot d = b \cdot c$.
Ce relație specială există între termenii unei proporții dacă mezii sunt egali?
Dacă într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{b}{d}$, atunci $b^2 = a \cdot d$, adică $b = \sqrt{a \cdot d}$, unde $b$ este media geometrică a numerelor $a$ și $d$.
Cum se exprimă matematic un șir de rapoarte egale?
Un șir de rapoarte egale se exprimă ca $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3}$, unde raportul sumelor numărătorilor și numitorilor este egal cu fiecare raport individual.
Cum se află un termen necunoscut x în proporția $\frac{x}{b} = \frac{c}{d}$?
Pentru a afla termenul necunoscut $x$ în proporția $\frac{x}{b} = \frac{c}{d}$, se folosește formula $x = \frac{b \cdot c}{d}$.
Cum se află un termen necunoscut x în proporția $\frac{a}{x} = \frac{c}{d}$?
Pentru a afla termenul necunoscut $x$ în proporția $\frac{a}{x} = \frac{c}{d}$, se folosește formula $x = \frac{a \cdot d}{c}$.
Cum se definește matematic proporționalitatea directă?
Două mulțimi $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ sunt direct proporționale dacă $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = ... = p$, unde $p$ este coeficientul de proporționalitate.
Cum se definește matematic proporționalitatea inversă?
Două mulțimi $\{a, b, c, ..., z\}$ și $\{a', b', c', ..., z'\}$ sunt invers proporționale dacă $a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = ... = constant$.
Cum se aplică regula de trei simplă pentru mărimi direct proporționale?
Pentru mărimi direct proporționale, dacă $a$ corespunde lui $b$, și $c$ corespunde lui $x$, atunci $\frac{a}{c} = \frac{b}{x}$, de unde rezultă $x = \frac{b \cdot c}{a}$.
Cum se aplică regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale?
Pentru mărimi invers proporționale, dacă $a$ corespunde lui $b$, și $c$ corespunde lui $x$, atunci $c \cdot x = a \cdot b$, de unde rezultă $x = \frac{a \cdot b}{c}$.
Cum se aplică regula de trei compusă?
Pentru regula de trei compusă cu $n$ mărimi, dacă $a_1, a_2, ..., a_n$ corespund lui $b$, și $c_1, c_2, ..., c_n$ corespund lui $x$, atunci $x = \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot b}{c_1 \cdot c_2 \cdot ... \cdot c_n}$.
Mărimile direct proporționale se pun la numărător, iar cele invers proporționale la numitor.
Cum se calculează raportul diferenței la suma a două numere?
Raportul diferenței la suma a două numere $a$ și $b$ se calculează ca $\frac{a-b}{a+b}$.
Cum se poate descompune un raport?
Un raport $\frac{a}{b}$ poate fi descompus ca $\frac{a-b}{b} + 1$, ceea ce este util în anumite calcule și demonstrații.
Cum se calculează raportul a două rapoarte?
Raportul a două rapoarte $\frac{a_1}{b_1}$ și $\frac{a_2}{b_2}$ se calculează ca $\frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2}$.
Cum se poate transforma raportul sumă-diferență?
Raportul sumă-diferență $\frac{a+b}{a-b}$ poate fi transformat în $\frac{1+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}}$, ceea ce este util în simplificări și demonstrații.
Cum se definește mulțimea numerelor reale?
Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este definită ca reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ și mulțimea numerelor iraționale $\mathbb{I}$: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.
Care este relația de incluziune între submulțimile principale ale numerelor reale?
Relația de incluziune între submulțimile principale ale numerelor reale este: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, unde $\mathbb{N}$ sunt numerele naturale, $\mathbb{Z}$ sunt numerele întregi, $\mathbb{Q}$ sunt numerele raționale și $\mathbb{R}$ sunt numerele reale.
Cum se definește matematic un număr rațional?
Un număr rațional $q$ este definit ca un raport între două numere întregi $a$ și $b$, unde $b$ este diferit de zero: $q = \frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$.
Cum se definește valoarea absolută a unui număr real?
Valoarea absolută a unui număr real $x$, notată $|x|$, este definită ca: $|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \geq 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$.
Care este proprietatea multiplicativă a valorii absolute?
Proprietatea multiplicativă a valorii absolute stabilește că valoarea absolută a produsului a două numere este egală cu produsul valorilor absolute ale acestor numere: $|xy| = |x| \cdot |y|$.
Care este inegalitatea triunghiului pentru valoarea absolută?
Inegalitatea triunghiului pentru valoarea absolută stabilește că valoarea absolută a sumei a două numere este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute ale acestor numere: $|x + y| \leq |x| + |y|$.
Cum se reprezintă mulțimea numerelor naturale?
Mulțimea numerelor naturale, notată cu $\mathbb{N}$, se reprezintă ca $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$.
Aceasta include toate numerele întregi pozitive folosite pentru numărare.
Cum se reprezintă mulțimea numerelor întregi?
Mulțimea numerelor întregi, notată cu $\mathbb{Z}$, se reprezintă ca $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Aceasta include toate numerele întregi negative, zero și numerele întregi pozitive.
Cum se notează matematic că două puncte A și B sunt distincte?
Pentru a indica că două puncte A și B sunt distincte, se folosește notația $A \neq B$. Aceasta înseamnă că punctele A și B nu ocupă aceeași poziție în spațiu.
Cum se notează matematic că două puncte A și B sunt confundate (identice)?
Pentru a indica că două puncte A și B sunt confundate (identice), se folosește notația $A = B$. Aceasta înseamnă că punctele A și B ocupă exact aceeași poziție în spațiu.
Câți metri sunt într-un decametru?
Un decametru (dam) este egal cu 10 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ dam} = 10 \text{ m}$.
Câți metri sunt într-un hectometru?
Un hectometru (hm) este egal cu 100 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ hm} = 100 \text{ m}$.
Câți metri sunt într-un kilometru?
Un kilometru (km) este egal cu 1000 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$.
Câți metri sunt într-un decimetru?
Un decimetru (dm) este egal cu 0,1 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ dm} = 0,1 \text{ m}$.
Câți metri sunt într-un centimetru?
Un centimetru (cm) este egal cu 0,01 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m}$.
Câți metri sunt într-un milimetru?
Un milimetru (mm) este egal cu 0,001 metri (m). Formula de conversie este: $1 \text{ mm} = 0,001 \text{ m}$.
Câți metri pătrați sunt într-un decametru pătrat?
Un decametru pătrat (dam²) este egal cu 100 metri pătrați (m²). Formula de conversie este: $1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2$.
Câți metri pătrați sau hectare sunt într-un hectometru pătrat?
Un hectometru pătrat (hm²) este egal cu 10.000 metri pătrați (m²) sau 1 hectar (ha). Formula de conversie este: $1 \text{ hm}^2 = 10\,000 \text{ m}^2 = 1 \text{ ha}$.
Câți metri pătrați sunt într-un kilometru pătrat?
Un kilometru pătrat (km²) este egal cu 1.000.000 metri pătrați (m²) sau 10⁶ m². Formula de conversie este: $1 \text{ km}^2 = 1\,000\,000 \text{ m}^2 = 10^6 \text{ m}^2$.
Câți metri cubi sunt într-un decametru cub?
Un decametru cub (dam³) este egal cu 1000 metri cubi (m³) sau 10³ m³. Formula de conversie este: $1 \text{ dam}^3 = 10^3 \text{ m}^3$.
Câți metri cubi sunt într-un hectometru cub?
Un hectometru cub (hm³) este egal cu 1.000.000 metri cubi (m³) sau 10⁶ m³. Formula de conversie este: $1 \text{ hm}^3 = 10^6 \text{ m}^3$.
Câți metri cubi sunt într-un kilometru cub?
Un kilometru cub (km³) este egal cu 1.000.000.000 metri cubi (m³) sau 10⁹ m³. Formula de conversie este: $1 \text{ km}^3 = 10^9 \text{ m}^3$.
Câți litri sunt într-un decalitru?
Un decalitru (dal) este egal cu 10 litri (ℓ). Formula de conversie este: $1 \text{ dal} = 10 \text{ ℓ}$.
Câți litri sunt într-un hectolitru?
Un hectolitru (hl) este egal cu 100 litri (ℓ). Formula de conversie este: $1 \text{ hl} = 100 \text{ ℓ}$.
Câți litri sunt într-un kilolitru?
Un kilolitru (kl) este egal cu 1000 litri (ℓ). Formula de conversie este: $1 \text{ kl} = 1000 \text{ ℓ}$.
Câte kilograme sunt într-un chintal?
Un chintal (q) este egal cu 100 kilograme (kg). Formula de conversie este: $1 \text{ q} = 100 \text{ kg}$.
Câte kilograme sunt într-o tonă?
O tonă (t) este egală cu 1000 kilograme (kg). Formula de conversie este: $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$.
Câte secunde sunt într-un minut?
Un minut (min) este egal cu 60 secunde (s). Formula de conversie este: $1 \text{ min} = 60 \text{ s}$.
Câte minute și secunde sunt într-o oră?
O oră (h) este egală cu 60 minute (min) sau 3600 secunde (s). Formula de conversie este: $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$.
Câte ore și secunde sunt într-o zi?
O zi este egală cu 24 ore (h) sau 86400 secunde (s). Formula de conversie este: $1 \text{ zi} = 24 \text{ h} = 86400 \text{ s}$.