Cum se definește matematic continuitatea unei funcții într-un punct?
Continuitatea unei funcții $f$ într-un punct de acumulare $x_0$ este definită astfel: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Aceasta înseamnă că limita funcției când x se apropie de $x_0$ este egală cu valoarea funcției în $x_0$.
Ce implică proprietatea lui Darboux pentru imaginea unei funcții continue?
Proprietatea lui Darboux implică că pentru o funcție $f$ continuă pe un interval $I$, imaginea $f(I)$ este tot un interval. Aceasta înseamnă că funcția "umple" toate valorile între orice două puncte din imagine, fără "sărituri".
Ce afirmă teorema valorilor intermediare pentru o funcție continuă?
Teorema valorilor intermediare afirmă că dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)f(b)<0$, atunci $\exists x_0 \in (a,b)$ astfel încât $f(x_0) = 0$. Aceasta garantează existența unei rădăcini între două valori de semne opuse.
Ce reprezintă forma canonică a ecuației de gradul al II-lea?
Forma canonică a ecuației de gradul al II-lea este $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$ este discriminantul.
Aceasta evidențiază vârful parabolei asociate.
Care este forma generală a funcției de gradul al II-lea?
Forma generală a funcției de gradul al II-lea este $f(x) = ax^2 + bx + c$, unde $a \neq 0$ și $a,b,c \in \mathbb{R}$.
Graficul acestei funcții este o parabolă.
Cum se calculează coordonatele vârfului parabolei pentru o funcție de gradul al II-lea?
Coordonatele vârfului parabolei pentru funcția $f(x) = ax^2 + bx + c$ sunt $V(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$.
Vârful reprezintă punctul de minim sau maxim al funcției.
Care este ecuația axei de simetrie a parabolei pentru o funcție de gradul al II-lea?
Axa de simetrie a parabolei pentru funcția $f(x) = ax^2 + bx + c$ este dreapta verticală cu ecuația $x = -\frac{b}{2a}$.
Această dreaptă trece prin vârful parabolei.
Cum se definește matematic derivata unei funcții într-un punct?
Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca limita $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$, dacă această limită există și este finită. Aceasta reprezintă rata de variație instantanee a funcției în punctul $x_0$.
Cum se raportează derivatele laterale la existența derivatei într-un punct?
Funcția $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă derivatele laterale există și sunt egale: $f'_s(x_0) = f'_d(x_0) = f'(x_0)$. Aceasta asigură că funcția are o tangentă unică în punctul $x_0$.
Cum se calculează derivata sumei a două funcții?
Derivata sumei a două funcții $f$ și $g$ este suma derivatelor lor: $(f + g)' = f' + g'$. Această regulă permite descompunerea derivatelor funcțiilor complexe în componente mai simple.
Cum se calculează derivata produsului unei funcții cu un scalar?
Derivata produsului unei funcții $f$ cu un scalar $\lambda$ este $(\lambda f)' = \lambda f'$. Constanta $\lambda$ poate fi scoasă în fața derivatei, simplificând calculele.
Cum se calculează derivata produsului a două funcții?
Derivata produsului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$. Aceasta reflectă aplicarea regulii produsului în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata câtului a două funcții?
Derivata câtului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Aceasta este o aplicare a regulii câtului în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata unei funcții compuse?
Derivata unei funcții compuse $f \circ u$ este dată de formula $(f \circ u)' = (f' \circ u) \cdot u'$. Aceasta este cunoscută ca regula lanțului și este fundamentală în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata funcției inverse?
Derivata funcției inverse $f^{-1}$ este dată de formula $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$. Aceasta permite calculul derivatei funcției inverse cunoscând derivata funcției originale.
Cum se definește formal limita unei funcții într-un punct?
Limita unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este $l$ dacă pentru orice șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ din domeniul lui $f$ cu $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l$. Formal: $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$.
Ce este limita la stânga a unei funcții?
Limita la stânga a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_s$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n < x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_s$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$ sau $f(x_0 - 0)$.
Ce este limita la dreapta a unei funcții?
Limita la dreapta a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_d$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n > x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_d$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$ sau $f(x_0 + 0)$.
Care este definiția funcției putere cu exponent par?
Funcția putere cu exponent par este definită ca $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n}$, unde $n \in \mathbb{N}^*$ este fixat. Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$ (mulțimea numerelor reale).
Care este inversa funcției putere cu exponent par pe intervalul [0,+∞)?
Pentru $g : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g(x) = x^{2n}$, inversa este funcția radical $g^{-1} : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$. Aceasta stabilește relația dintre funcția putere și funcția radical.
Care sunt proprietățile principale ale funcției putere cu exponent impar?
Funcția putere cu exponent impar $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n+1}$ este impară, strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, bijectivă, cu $\text{Im } f = \mathbb{R}$. Inversa ei este funcția radical $g^{-1}(x) = \sqrt[2n+1]{x}$.
Ce este o funcție injectivă?
O funcție injectivă $f : A \to B$ este o funcție pentru care elementele distincte din domeniu au imagini distincte în codomeniu.
Matematic, aceasta se exprimă astfel: $\forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$.
Ce este o funcție surjectivă?
O funcție surjectivă $f : A \to B$ este o funcție pentru care fiecare element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu.
Matematic: $\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y$, sau echivalent, $\text{Im } f = B$.
Ce este o funcție bijectivă?
O funcție bijectivă $f : A \to B$ este o funcție care este atât injectivă, cât și surjectivă.
Aceasta înseamnă că fiecare element din codomeniu corespunde exact unui element din domeniu.
Ce este o funcție inversabilă?
O funcție $f : A \to B$ este inversabilă dacă există o funcție $g : B \to A$ astfel încât $f \circ g = 1_B$ și $g \circ f = 1_A$.
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Ce este o funcție convexă?
O funcție $f : I \to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, este convexă pe $I$ dacă $\forall x, y \in I$ și $\forall a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$, este adevărată inegalitatea $f(ax + by) \leq af(x) + bf(y)$.
Geometric, graficul funcției se află sub orice segment de dreaptă care unește două puncte ale sale.
Ce este o funcție concavă?
O funcție $f : I \to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, este concavă pe $I$ dacă $\forall x, y \in I$ și $\forall a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$, este adevărată inegalitatea $f(ax + by) \geq af(x) + bf(y)$.
Geometric, graficul funcției se află deasupra oricărui segment de dreaptă care unește două puncte ale sale.
Cum se notează o funcție în matematică?
O funcție se notează $f: A \rightarrow B$, unde $A$ este domeniul de definiție, $B$ este codomeniul, $x \in A$ este variabila independentă, și $f(x) \in B$ este imaginea lui $x$ prin $f$. Legea de corespondență se scrie $y = f(x)$.
Cum se definește o funcție sintetic?
O funcție definită sintetic specifică explicit corespondența pentru fiecare element din domeniu. Exemplu: $f: A \rightarrow B, A = \{1, 2, 3\}, B = \{a, b, c\}$, cu $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c$.
Cum se definește o funcție analitic?
O funcție definită analitic specifică o regulă generală care leagă un element arbitrar $x$ din domeniu de imaginea sa $f(x)$. Exemplu: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x + 1$.
Cum se definește matematic graficul unei funcții?
Graficul unei funcții $f: A \rightarrow B$ este definit ca mulțimea perechilor ordonate $\{(x, y) | x \in A, y = f(x)\}$. Acesta reprezintă legătura dintre elementele $x \in A$ și $f(x) \in B$ pe un sistem de axe de coordonate ortogonal.
Care este forma generală a unei funcții liniare?
O funcție liniară are forma generală $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax + b$, unde $a$ și $b$ sunt constante reale. Coeficientul $a$ determină panta dreptei, iar $b$ este ordonata la origine.
Cum se determină punctul de intersecție cu axa Oy pentru o funcție liniară?
Pentru o funcție liniară $f(x) = ax + b$, punctul de intersecție cu axa Oy este dat de formula $G_f \cap Oy = A(0, b)$. Acest punct reprezintă ordonata la origine a funcției.
Cum se determină punctul de intersecție cu axa Ox pentru o funcție liniară?
Pentru o funcție liniară $f(x) = ax + b$, punctul de intersecție cu axa Ox este dat de formula $G_f \cap Ox = B(-\frac{b}{a}, 0)$. Acest punct reprezintă rădăcina ecuației liniare.
Cum se definește matematic funcția exponențială?
Funcția exponențială este definită ca $f: \mathbb{R} \to (0,+\infty), f(x)=a^x$, unde $a \in \mathbb{R}, a>0, a \neq 1$. Aceasta se numește funcția exponențială de bază $a$.
Care este valoarea funcției exponențiale $f(x)=a^x$ în punctul $x=0$?
Pentru orice funcție exponențială $f(x)=a^x$, avem $f(0) = a^0 = 1$. Acest lucru este valabil pentru orice bază $a > 0, a \neq 1$.
Cum se definește matematic funcția logaritmică?
Funcția logaritmică este definită ca $g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=\log_a x$, unde $a \in \mathbb{R}, a>0, a \neq 1$. Aceasta se numește funcția logaritmică în baza $a$.
Care este valoarea funcției logaritmice $g(x)=\\log_a x$ în punctul $x=1$?
Pentru orice funcție logaritmică $g(x)=\log_a x$, avem $g(1) = \log_a 1 = 0$. Acest lucru este valabil pentru orice bază $a > 0, a \neq 1$.
Care este relația matematică dintre funcția exponențială și funcția logaritmică?
Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale. Matematic, acest lucru se exprimă astfel: $f \circ g = g \circ f = 1_{(0,+\infty)}$ unde $f$ este funcția exponențială și $g$ este funcția logaritmică cu aceeași bază.
Care este domeniul și codomeniul funcției sinus?
Funcția sinus este definită ca $f : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1], f(x) = \sin x$. Aceasta este bijectivă pe acest interval, deci inversabilă.
Care este inversa funcției sinus?
Inversa funcției sinus este funcția arc sinus, definită ca $f^{-1} : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], f^{-1}(x) = \arcsin x$.
Care este domeniul și codomeniul funcției cosinus?
Funcția cosinus este definită ca $g : [0, \pi] \to [-1, 1], f(x) = \cos x$. Aceasta este bijectivă pe acest interval, deci inversabilă.
Care este inversa funcției cosinus?
Inversa funcției cosinus este funcția arc cosinus, definită ca $g^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi], g^{-1}(x) = \arccos x$.
Care este domeniul și codomeniul funcției tangentă?
Funcția tangentă este definită ca $h : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}, h(x) = \tg x$. Aceasta este bijectivă, deci inversabilă.
Care este inversa funcției tangentă?
Inversa funcției tangentă este funcția arc tangentă, definită ca $h^{-1} : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), h^{-1}(x) = \arctg x$.
Cum se calculează numărul de funcții f : A → B?
Numărul de funcții $f : A \to B$ este egal cu $(card B)^{card A}$, unde $card A$ și $card B$ reprezintă cardinalul (numărul de elemente) al mulțimilor A și B respectiv.
Ce este imaginea unei funcții și cum se definește matematic?
Imaginea unei funcții $f$ este mulțimea $Im f = \{y | \exists x \in D_f \text{ cu } f(x) = y\}$, unde $D_f$ este domeniul funcției $f$. Aceasta reprezintă toate valorile pe care funcția le poate lua.
Cum se definește o funcție compusă?
Pentru două funcții $f : A \to B$ și $g : B \to C$, funcția compusă $g \circ f : A \to C$ se definește ca $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ pentru orice $x$ în domeniul lui $f$.
Care este definiția matematică a unei funcții monoton crescătoare?
O funcție $f$ este monoton crescătoare dacă și numai dacă $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$, unde $A$ este domeniul funcției.
Care este definiția matematică a unei funcții monoton descrescătoare?
O funcție $f$ este monoton descrescătoare dacă și numai dacă $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$, unde $A$ este domeniul funcției.
Care este definiția matematică a unei funcții strict crescătoare?
O funcție $f$ este strict crescătoare dacă și numai dacă $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$, unde $A$ este domeniul funcției.
Care este definiția matematică a unei funcții strict descrescătoare?
O funcție $f$ este strict descrescătoare dacă și numai dacă $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$, unde $A$ este domeniul funcției.
Cum se definește o funcție pară?
O funcție $f : A \to B$ este pară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = f(x), \forall x \in A$.
Cum se definește o funcție impară?
O funcție $f : A \to B$ este impară dacă și numai dacă $A$ este o mulțime simetrică și $f(-x) = -f(x), \forall x \in A$.