Înapoi la toate formulele

27 Formule pentru funcții disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de funcții

Tabel formule funcții:

DescriereFormula

Definiția continuității

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Proprietatea lui Darboux

$f(I)$ este interval

Teorema valorilor intermediare

$\exists x_0 \in (a,b), f(x_0) = 0$

Forma canonică

$f(x) = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$

Funcția de gradul al II-lea

$f(x) = ax^2 + bx + c, a\neq 0$

Coordonatele vârfului

$V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$

Axa de simetrie

$x = -\frac{b}{2a}$

Definiția derivatei

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$

Derivate laterale

$f'_s(x_0) = f'_d(x_0) = f'(x_0)$

Derivata sumei

$(f + g)' = f' + g'$

Derivata produsului cu scalar

$(\lambda f)' = \lambda f'$

Derivata produsului

$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Derivata câtului

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Derivata funcției compuse

$(f \circ u)' = (f' \circ u) \cdot u'$

Derivata funcției inverse

$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$

Definiția limitei unei funcții

$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$

Limita la stânga

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$

Limita la dreapta

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$

Funcția putere cu exponent par

$f(x) = x^{2n}$

Inversa funcției putere cu exponent par

$g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$

Funcția putere cu exponent impar

$f(x) = x^{2n+1}$

Funcție injectivă

$f : A \to B, \forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$

Funcție surjectivă

$f : A \to B, \forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y$

Funcție bijectivă

$f : A \to B \text{ este bijectivă } \Leftrightarrow f \text{ este injectivă și surjectivă}$

Funcție inversabilă

$f : A \to B \text{ este inversabilă } \Leftrightarrow \exists g : B \to A, f \circ g = 1_B \text{ și } g \circ f = 1_A$

Funcție convexă

$f : I \to \mathbb{R}, \forall x, y \in I, \forall a, b \geq 0, a + b = 1 : f(ax + by) \leq af(x) + bf(y)$

Funcție concavă

$f : I \to \mathbb{R}, \forall x, y \in I, \forall a, b \geq 0, a + b = 1 : f(ax + by) \geq af(x) + bf(y)$

Vezi mai multe formule:

Functii ContinueLimiteEcuatiiAlgebraMatematicaGeometrie AnaliticaAnaliza MatematicaDerivateReguli DerivarePuteriRadicaliTipuri De Functii

Formule de funcții adăugate recent:

Definiția continuității

Definiția continuității unei funcții într-un punct de acumulare

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Proprietatea lui Darboux

Consecința proprietății lui Darboux pentru funcții continue

$f(I)$ este interval

Teorema valorilor intermediare

Corolar al proprietății lui Darboux pentru funcții continue

$\exists x_0 \in (a,b), f(x_0) = 0$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

Începe gratuit

7 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit

Ecuația de Gradul al II-lea

Acest pachet conține flashcard-uri despre ecuația de gradul al II-lea, incluzând definiții, forme, soluții și relațiile lui Viète.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcția de gradul al II-lea

Acest deck conține informații esențiale despre funcția de gradul al II-lea, inclusiv proprietăți, reprezentare grafică și relații între coeficienți și soluții.
19 flashcard-uri în pachet
~6 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Tipuri de Funcții și Proprietăți: Injectiva, Surjectivă, Bijectiva, Convexă, Concavă

Acest pachet conține flashcard-uri despre funcții injective, surjective, bijective, convexe și concave.
6 flashcard-uri în pachet
~2 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcții Putere, Radical și Ecuații

Acest pachet conține carduri flash despre funcții putere, funcții radical și ecuații specifice.
6 flashcard-uri în pachet
~2 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Limite de Funcții

Acest pachet conține flashcard-uri despre limite de funcții, incluzând definiții, proprietăți și limite remarcabile.
15 flashcard-uri în pachet
~5 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcții Continue

Acest pachet conține flashcard-uri despre funcții continue, incluzând definiții, proprietăți și teoreme importante.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Funcții Derivabile

Acest pachet conține flashcard-uri despre funcții derivabile, incluzând definiții, proprietăți, teoreme și reguli de derivare.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii

27 Întrebări despre funcții

Cum se definește matematic continuitatea unei funcții într-un punct?

Continuitatea unei funcții $f$ într-un punct de acumulare $x_0$ este definită astfel: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Aceasta înseamnă că limita funcției când x se apropie de $x_0$ este egală cu valoarea funcției în $x_0$.

Ce implică proprietatea lui Darboux pentru imaginea unei funcții continue?

Proprietatea lui Darboux implică că pentru o funcție $f$ continuă pe un interval $I$, imaginea $f(I)$ este tot un interval. Aceasta înseamnă că funcția "umple" toate valorile între orice două puncte din imagine, fără "sărituri".

Ce afirmă teorema valorilor intermediare pentru o funcție continuă?

Teorema valorilor intermediare afirmă că dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)f(b)<0$, atunci $\exists x_0 \in (a,b)$ astfel încât $f(x_0) = 0$. Aceasta garantează existența unei rădăcini între două valori de semne opuse.

Ce reprezintă forma canonică a ecuației de gradul al II-lea?

Forma canonică a ecuației de gradul al II-lea este $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$ este discriminantul.
Aceasta evidențiază vârful parabolei asociate.

Care este forma generală a funcției de gradul al II-lea?

Forma generală a funcției de gradul al II-lea este $f(x) = ax^2 + bx + c$, unde $a \neq 0$ și $a,b,c \in \mathbb{R}$.
Graficul acestei funcții este o parabolă.

Cum se calculează coordonatele vârfului parabolei pentru o funcție de gradul al II-lea?

Coordonatele vârfului parabolei pentru funcția $f(x) = ax^2 + bx + c$ sunt $V(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$, unde $\Delta = b^2 - 4ac$.
Vârful reprezintă punctul de minim sau maxim al funcției.

Care este ecuația axei de simetrie a parabolei pentru o funcție de gradul al II-lea?

Axa de simetrie a parabolei pentru funcția $f(x) = ax^2 + bx + c$ este dreapta verticală cu ecuația $x = -\frac{b}{2a}$.
Această dreaptă trece prin vârful parabolei.

Cum se definește matematic derivata unei funcții într-un punct?

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca limita $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$, dacă această limită există și este finită. Aceasta reprezintă rata de variație instantanee a funcției în punctul $x_0$.

Cum se raportează derivatele laterale la existența derivatei într-un punct?

Funcția $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă derivatele laterale există și sunt egale: $f'_s(x_0) = f'_d(x_0) = f'(x_0)$. Aceasta asigură că funcția are o tangentă unică în punctul $x_0$.

Cum se calculează derivata sumei a două funcții?

Derivata sumei a două funcții $f$ și $g$ este suma derivatelor lor: $(f + g)' = f' + g'$. Această regulă permite descompunerea derivatelor funcțiilor complexe în componente mai simple.

Cum se calculează derivata produsului unei funcții cu un scalar?

Derivata produsului unei funcții $f$ cu un scalar $\lambda$ este $(\lambda f)' = \lambda f'$. Constanta $\lambda$ poate fi scoasă în fața derivatei, simplificând calculele.

Cum se calculează derivata produsului a două funcții?

Derivata produsului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$. Aceasta reflectă aplicarea regulii produsului în calculul diferențial.

Cum se calculează derivata câtului a două funcții?

Derivata câtului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Aceasta este o aplicare a regulii câtului în calculul diferențial.

Cum se calculează derivata unei funcții compuse?

Derivata unei funcții compuse $f \circ u$ este dată de formula $(f \circ u)' = (f' \circ u) \cdot u'$. Aceasta este cunoscută ca regula lanțului și este fundamentală în calculul diferențial.

Cum se calculează derivata funcției inverse?

Derivata funcției inverse $f^{-1}$ este dată de formula $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$. Aceasta permite calculul derivatei funcției inverse cunoscând derivata funcției originale.

Cum se definește formal limita unei funcții într-un punct?

Limita unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este $l$ dacă pentru orice șir $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ din domeniul lui $f$ cu $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l$. Formal: $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$.

Ce este limita la stânga a unei funcții?

Limita la stânga a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_s$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n < x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_s$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l_s$ sau $f(x_0 - 0)$.

Ce este limita la dreapta a unei funcții?

Limita la dreapta a unei funcții $f$ în $x_0$ este $l_d$ dacă pentru orice șir $(a_n)_n$ cu $a_n > x_0$ și $a_n \to x_0$, avem $f(a_n) \to l_d$. Notăm: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l_d$ sau $f(x_0 + 0)$.

Care este definiția funcției putere cu exponent par?

Funcția putere cu exponent par este definită ca $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n}$, unde $n \in \mathbb{N}^*$ este fixat. Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$ (mulțimea numerelor reale).

Care este inversa funcției putere cu exponent par pe intervalul [0,+∞)?

Pentru $g : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g(x) = x^{2n}$, inversa este funcția radical $g^{-1} : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$. Aceasta stabilește relația dintre funcția putere și funcția radical.

Care sunt proprietățile principale ale funcției putere cu exponent impar?

Funcția putere cu exponent impar $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n+1}$ este impară, strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, bijectivă, cu $\text{Im } f = \mathbb{R}$. Inversa ei este funcția radical $g^{-1}(x) = \sqrt[2n+1]{x}$.

Ce este o funcție injectivă?

O funcție injectivă $f : A \to B$ este o funcție pentru care elementele distincte din domeniu au imagini distincte în codomeniu.
Matematic, aceasta se exprimă astfel: $\forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$.

Ce este o funcție surjectivă?

O funcție surjectivă $f : A \to B$ este o funcție pentru care fiecare element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu.
Matematic: $\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y$, sau echivalent, $\text{Im } f = B$.

Ce este o funcție bijectivă?

O funcție bijectivă $f : A \to B$ este o funcție care este atât injectivă, cât și surjectivă.
Aceasta înseamnă că fiecare element din codomeniu corespunde exact unui element din domeniu.

Ce este o funcție inversabilă?

O funcție $f : A \to B$ este inversabilă dacă există o funcție $g : B \to A$ astfel încât $f \circ g = 1_B$ și $g \circ f = 1_A$.
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Ce este o funcție convexă?

O funcție $f : I \to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, este convexă pe $I$ dacă $\forall x, y \in I$ și $\forall a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$, este adevărată inegalitatea $f(ax + by) \leq af(x) + bf(y)$.
Geometric, graficul funcției se află sub orice segment de dreaptă care unește două puncte ale sale.

Ce este o funcție concavă?

O funcție $f : I \to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, este concavă pe $I$ dacă $\forall x, y \in I$ și $\forall a, b \geq 0$ cu $a + b = 1$, este adevărată inegalitatea $f(ax + by) \geq af(x) + bf(y)$.
Geometric, graficul funcției se află deasupra oricărui segment de dreaptă care unește două puncte ale sale.