Înapoi la toate formulele

17 Formule de combinatorică disponibile

Explorează cele mai importante formule legate de combinatorică

Tabel formule combinatorică:

DescriereFormula
Numărul de permutări
$P_n = n!$
Numărul de aranjamente
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Numărul de combinări
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Combinări complementare
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Formula de recurență pentru combinări
$C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$
Binomul lui Newton
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Termenul general în binomul lui Newton
$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Suma coeficienților binomiali
$\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$
Relația de recurență între termeni consecutivi
$\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{b}{a}$
Cardinalul mulțimii permutărilor
$\text{card}(S_n) = n!$
Factorialul
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$
Formula generală pentru aranjamente
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Aranjamente complete
$A_n^n = n!$
Formula recurentă pentru aranjamente
$A_n^k = n \cdot A_{n-1}^{k-1}$
Formula extinsă pentru aranjamente
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)$
Relația între aranjamente și combinări
$A_n^k = C_n^k \cdot k!$
Suma tuturor aranjamentelor
$\sum_{k=0}^n A_n^k = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!} = n! \cdot e - \left\lfloor n! \cdot e \right\rfloor$

Vezi mai multe formule:

AlgebraMatematicaPermutariAranjamenteAnaliza Matematica

Formule de combinatorică adăugate recent:

Numărul de permutări

Formula pentru calculul numărului de permutări
$P_n = n!$

Numărul de aranjamente

Formula pentru calculul numărului de aranjamente
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Numărul de combinări

Formula pentru calculul numărului de combinări
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

Alătură-te celor care rețin mai multe formule și sunt mai buni la matematică.

Începe gratuit

2 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Memoratoarele sunt colecții de flashcard-uri, care conțin formulele de mai sus + concepte esențiale. Cu ajutorul acest memoratoare poți să înveți mai repede ceea ce trebuie să știi pentru teste și examene.

Gratuit

Combinatorică și Binomul lui Newton

Acest pachet conține flashcard-uri despre concepte de bază în combinatorică și binomul lui Newton.
10 flashcard-uri în pachet
~3 minute de studiu
Vezi detalii
Gratuit

Permutări

Acest pachet conține flashcarduri despre concepte fundamentale ale permutărilor
4 flashcard-uri în pachet
~1 minute de studiu
Vezi detalii

17 Întrebări despre combinatorică

Cum se calculează numărul de permutări ale unei mulțimi cu n elemente?

Numărul de permutări $P_n$ ale unei mulțimi cu $n$ elemente este dat de formula $P_n = n!$. Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care $n$ obiecte distincte pot fi aranjate.

Cum se calculează numărul de aranjamente de k elemente dintr-o mulțime cu n elemente?

Numărul de aranjamente $A_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și aranja $k$ obiecte din $n$.

Cum se calculează numărul de combinări de k elemente dintr-o mulțime cu n elemente?

Numărul de combinări $C_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta $k$ obiecte din $n$, fără a ține cont de ordinea lor.

Care este relația dintre numărul de combinări de k elemente și numărul de combinări de n-k elemente?

Formula combinărilor complementare stabilește că $C_n^k = C_n^{n-k}$. Aceasta arată că numărul de moduri de a selecta $k$ obiecte dintr-un set de $n$ este egal cu numărul de moduri de a selecta $n-k$ obiecte din același set.

Care este formula de recurență pentru calculul combinărilor?

Formula de recurență pentru combinări (cunoscută și ca relația lui Pascal) este $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$. Aceasta stă la baza construcției triunghiului lui Pascal și permite calculul eficient al numerelor combinatorii.

Care este formula binomului lui Newton?

Binomul lui Newton este dat de formula $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$. Aceasta exprimă dezvoltarea puterii a n-a a unui binom în termeni de coeficienți binomiali și puteri ale termenilor inițiali.

Care este forma termenului general în dezvoltarea binomului lui Newton?

Termenul general (de rang $k+1$) în dezvoltarea binomului lui Newton $(a+b)^n$ este dat de $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$. Aceasta permite calculul direct al oricărui termen specific din dezvoltare.

Care este suma tuturor coeficienților binomiali în dezvoltarea binomului lui Newton?

Suma tuturor coeficienților binomiali în dezvoltarea $(a+b)^n$ este dată de $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$. Aceasta reprezintă numărul total de submulțimi ale unei mulțimi cu $n$ elemente.

Care este relația de recurență între doi termeni consecutivi în dezvoltarea binomului lui Newton?

Relația de recurență între doi termeni consecutivi $T_k$ și $T_{k+1}$ în dezvoltarea $(a+b)^n$ este dată de $\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{b}{a}$. Aceasta permite calculul eficient al termenilor succesivi în dezvoltare.

Câte permutări diferite există pentru o mulțime cu n elemente?

Numărul total de permutări de ordin $n$, adică cardinalul mulțimii $S_n$, este dat de formula $\text{card}(S_n) = n!$. Aceasta înseamnă că există $n!$ moduri diferite de a aranja $n$ elemente distincte.

Cum se calculează factorialul unui număr n?

Factorialul unui număr $n$, notat $n!$, se calculează ca produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la $n$: $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$. Această valoare reprezintă numărul total de permutări posibile pentru $n$ elemente.

Cum se calculează numărul de aranjamente de k elemente dintr-o mulțime de n elemente?

Numărul de aranjamente $A_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și ordona $k$ obiecte din $n$.

Ce se întâmplă cu formula aranjamentelor când k = n?

Când $k = n$, avem aranjamente complete, și formula devine $A_n^n = n!$. Aceasta este echivalentă cu numărul de permutări ale $n$ elemente.

Care este relația recurentă pentru calculul aranjamentelor?

Aranjamentele pot fi calculate recursiv folosind formula $A_n^k = n \cdot A_{n-1}^{k-1}$. Aceasta arată că pentru a alege $k$ elemente din $n$, putem alege primul element în $n$ moduri și apoi aranjăm restul de $k-1$ elemente din cele $n-1$ rămase.

Cum se poate exprima formula aranjamentelor ca un produs?

Numărul de aranjamente $A_n^k$ poate fi exprimat ca produsul $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)$, care conține $k$ factori. Această formă evidențiază procesul de selecție secvențială a elementelor.

Cum sunt legate aranjamentele de combinări?

Aranjamentele și combinările sunt legate prin formula $A_n^k = C_n^k \cdot k!$. Aceasta arată că putem obține aranjamente selectând $k$ elemente (combinări) și apoi permutându-le în toate modurile posibile.

Care este suma tuturor aranjamentelor posibile pentru o mulțime de n elemente?

Suma tuturor aranjamentelor posibile pentru o mulțime de $n$ elemente este dată de formula $\sum_{k=0}^n A_n^k = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!} = n! \cdot e - \left\lfloor n! \cdot e \right\rfloor$, unde $e$ este numărul lui Euler. Această sumă are o valoare apropiată de $n! \cdot e$.