Cum se calculează numărul de permutări ale unei mulțimi cu n elemente?
Numărul de permutări $P_n$ ale unei mulțimi cu $n$ elemente este dat de formula $P_n = n!$. Aceasta reprezintă numărul total de moduri în care $n$ obiecte distincte pot fi aranjate.
Cum se calculează numărul de aranjamente de k elemente dintr-o mulțime cu n elemente?
Numărul de aranjamente $A_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și aranja $k$ obiecte din $n$.
Cum se calculează numărul de combinări de k elemente dintr-o mulțime cu n elemente?
Numărul de combinări $C_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta $k$ obiecte din $n$, fără a ține cont de ordinea lor.
Care este relația dintre numărul de combinări de k elemente și numărul de combinări de n-k elemente?
Formula combinărilor complementare stabilește că $C_n^k = C_n^{n-k}$. Aceasta arată că numărul de moduri de a selecta $k$ obiecte dintr-un set de $n$ este egal cu numărul de moduri de a selecta $n-k$ obiecte din același set.
Care este formula de recurență pentru calculul combinărilor?
Formula de recurență pentru combinări (cunoscută și ca relația lui Pascal) este $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$. Aceasta stă la baza construcției triunghiului lui Pascal și permite calculul eficient al numerelor combinatorii.
Care este formula binomului lui Newton?
Binomul lui Newton este dat de formula $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$. Aceasta exprimă dezvoltarea puterii a n-a a unui binom în termeni de coeficienți binomiali și puteri ale termenilor inițiali.
Care este forma termenului general în dezvoltarea binomului lui Newton?
Termenul general (de rang $k+1$) în dezvoltarea binomului lui Newton $(a+b)^n$ este dat de $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$. Aceasta permite calculul direct al oricărui termen specific din dezvoltare.
Care este suma tuturor coeficienților binomiali în dezvoltarea binomului lui Newton?
Suma tuturor coeficienților binomiali în dezvoltarea $(a+b)^n$ este dată de $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$. Aceasta reprezintă numărul total de submulțimi ale unei mulțimi cu $n$ elemente.
Care este relația de recurență între doi termeni consecutivi în dezvoltarea binomului lui Newton?
Relația de recurență între doi termeni consecutivi $T_k$ și $T_{k+1}$ în dezvoltarea $(a+b)^n$ este dată de $\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{b}{a}$. Aceasta permite calculul eficient al termenilor succesivi în dezvoltare.
Câte permutări diferite există pentru o mulțime cu n elemente?
Numărul total de permutări de ordin $n$, adică cardinalul mulțimii $S_n$, este dat de formula $\text{card}(S_n) = n!$. Aceasta înseamnă că există $n!$ moduri diferite de a aranja $n$ elemente distincte.
Cum se calculează factorialul unui număr n?
Factorialul unui număr $n$, notat $n!$, se calculează ca produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la $n$: $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$. Această valoare reprezintă numărul total de permutări posibile pentru $n$ elemente.
Cum se calculează numărul de aranjamente de k elemente dintr-o mulțime de n elemente?
Numărul de aranjamente $A_n^k$ de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este dat de formula $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, unde $0 \leq k \leq n$. Aceasta reprezintă numărul de moduri de a selecta și ordona $k$ obiecte din $n$.
Ce se întâmplă cu formula aranjamentelor când k = n?
Când $k = n$, avem aranjamente complete, și formula devine $A_n^n = n!$. Aceasta este echivalentă cu numărul de permutări ale $n$ elemente.
Care este relația recurentă pentru calculul aranjamentelor?
Aranjamentele pot fi calculate recursiv folosind formula $A_n^k = n \cdot A_{n-1}^{k-1}$. Aceasta arată că pentru a alege $k$ elemente din $n$, putem alege primul element în $n$ moduri și apoi aranjăm restul de $k-1$ elemente din cele $n-1$ rămase.
Cum se poate exprima formula aranjamentelor ca un produs?
Numărul de aranjamente $A_n^k$ poate fi exprimat ca produsul $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)$, care conține $k$ factori. Această formă evidențiază procesul de selecție secvențială a elementelor.
Cum sunt legate aranjamentele de combinări?
Aranjamentele și combinările sunt legate prin formula $A_n^k = C_n^k \cdot k!$. Aceasta arată că putem obține aranjamente selectând $k$ elemente (combinări) și apoi permutându-le în toate modurile posibile.
Care este suma tuturor aranjamentelor posibile pentru o mulțime de n elemente?
Suma tuturor aranjamentelor posibile pentru o mulțime de $n$ elemente este dată de formula $\sum_{k=0}^n A_n^k = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!} = n! \cdot e - \left\lfloor n! \cdot e \right\rfloor$, unde $e$ este numărul lui Euler. Această sumă are o valoare apropiată de $n! \cdot e$.