Q: Cum se definește o primitivă a unei funcții?

O funcție $F: I \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f: I \to \mathbb{R}$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F'(x) = f(x), \forall x \in I$. Aceasta stabilește relația inversă între derivare și primitivizare.

Question 1

20 Întrebări despre integrale nedefinite

Question 2

Cum se definește o primitivă a unei funcții?

Accepted Answer

O funcție $F: I o \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f: I o \mathbb{R}$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F'(x) = f(x), \forall x \in I$.
Aceasta stabilește relația inversă între derivare și primitivizare.

Question 3

Ce reprezintă integrala nedefinită a unei funcții?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a unei funcții $f$ care admite primitive este notată $\int f(x) dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.
Aceasta reprezintă mulțimea tuturor primitivelor lui $f$.

Question 4

Cum se aplică proprietatea de liniaritate la integrala nedefinită?

Accepted Answer

Proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite stabilește că $\int (f + g)(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ și $\int (\alpha f)(x) dx = \alpha \int f(x) dx$, pentru $\alpha \in \mathbb{R}$.
Aceasta permite descompunerea integralelor complexe.

Question 5

Care este integrala nedefinită a lui dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui dx este $\int dx = x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 6

Care este integrala nedefinită a lui x^a dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui x^a dx este $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$, unde $a \in \mathbb{R}, a 
eq -1$, și C este constanta de integrare.

Question 7

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{x} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui 1/x dx este $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 8

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{x^2 + a^2} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{x^2 + a^2} dx$ este $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$, unde $a 
eq 0$ și C este constanta de integrare.

Question 9

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{x^2 - a^2} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{x^2 - a^2} dx$ este $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C$, unde $a 
eq 0$ și C este constanta de integrare.

Question 10

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sqrt{x^2 ± a^2}} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sqrt{x^2 ± a^2}} dx$ este $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 ± a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 ± a^2}| + C$, unde $a 
eq 0$ și C este constanta de integrare.

Question 11

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$ este $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$, unde $a > 0$ și C este constanta de integrare.

Question 12

Care este integrala nedefinită a lui $a^x dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $a^x dx$ este $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, unde $a > 0, a 
eq 1$, și C este constanta de integrare.

Question 13

Care este integrala nedefinită a lui $e^x dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $e^x dx$ este $\int e^x dx = e^x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 14

Care este integrala nedefinită a lui sin x dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui sin x dx este $\int \sin x dx = -\cos x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 15

Care este integrala nedefinită a lui cos x dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui cos x dx este $\int \cos x dx = \sin x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 16

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\cos^2 x} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\cos^2 x}$ dx este $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 	g x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 17

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sin^2 x} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sin^2 x} dx$ este $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\ctg x + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 18

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sin x} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\sin x} dx$ este $\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln |	g \frac{x}{2}| + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 19

Care este integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\cos x} dx$?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui $\frac{1}{\cos x} dx$ este $\int \frac{1}{\cos x} dx = \ln |	g (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})| + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 20

Care este integrala nedefinită a lui tg x dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui tg x dx este $\int 	g x dx = -\ln |\cos x| + C$, unde C este constanta de integrare.

Question 21

Care este integrala nedefinită a lui ctg x dx?

Accepted Answer

Integrala nedefinită a lui ctg x dx este $\int \ctg x dx = \ln |\sin x| + C$, unde C este constanta de integrare.

Descriere	Formula
Definiția primitivei	$F'(x) = f(x), \forall x \in I$
Integrala nedefinită	$\int f(x) dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}$
Liniaritatea integralei nedefinite	$\int (f + g)(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
Integrala nedefinită a funcției constante	$\int dx = x + C$
Integrala nedefinită a funcției putere	$\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, a \in \mathbb{R}, a \neq -1$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x} dx = \ln \|x\| + C$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{x^2 + a^2}$	$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C, a \neq 0$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{x^2 - a^2}$	$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \|\frac{x-a}{x+a}\| + C, a \neq 0$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\sqrt{x^2 ± a^2}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 ± a^2}} dx = \ln \|x + \sqrt{x^2 ± a^2}\| + C, a \neq 0$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C, a > 0$
Integrala nedefinită a funcției exponențiale	$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, a > 0, a \neq 1$
Integrala nedefinită a funcției $e^x$	$\int e^x dx = e^x + C$
Integrala nedefinită a funcției sinus	$\int \sin x dx = -\cos x + C$
Integrala nedefinită a funcției cosinus	$\int \cos x dx = \sin x + C$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\cos^2 x}$	$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tg x + C$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\sin^2 x}$	$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\ctg x + C$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\sin x}$	$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln \|\tg \frac{x}{2}\| + C$
Integrala nedefinită a funcției $\frac{1}{\cos x}$	$\int \frac{1}{\cos x} dx = \ln \|\tg (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\| + C$
Integrala nedefinită a funcției tangentă	$\int \tg x dx = -\ln \|\cos x\| + C$
Integrala nedefinită a funcției cotangentă	$\int \ctg x dx = \ln \|\sin x\| + C$

20 Formule pentru integrale nedefinite disponibile

Tabel formule integrale nedefinite:

Vezi mai multe formule:

Formule de integrale nedefinite adăugate recent:

Definiția primitivei

Integrala nedefinită

Liniaritatea integralei nedefinite

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

1 Memorator disponibil care te poate ajuta să înveți mai repede

Primitive, integrale nedefinite, metode de integrare