Care este derivata unei funcții constante?
Derivata unei funcții constante c este întotdeauna zero: $(c)' = 0$, pentru orice $c \in \mathbb{R}$. Aceasta înseamnă că rata de schimbare a unei constante este zero, deoarece valoarea sa nu se modifică.
Care este derivata funcției identitate?
Derivata funcției identitate $f(x) = x$ este întotdeauna 1: $(x)' = 1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Aceasta indică o rată de schimbare constantă și uniformă pentru funcția identitate.
Cum se calculează derivata funcției putere cu exponent natural?
Derivata funcției putere $x^n$, unde n este un număr natural nenul, este: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă reduce puterea cu 1 și multiplică cu exponentul original.
Cum se calculează derivata funcției putere cu exponent real?
Derivata funcției putere $x^r$, unde r este un număr real, este: $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$, pentru $x > 0$. Această formulă se aplică pentru orice exponent real, generalizând regula pentru exponenți naturali.
Care este derivata funcției radical?
Derivata funcției radical $\sqrt{x}$ este: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, pentru $x > 0$. Această formulă rezultă din aplicarea regulii generale pentru funcția putere cu exponentul 1/2.
Care este derivata funcției logaritm natural?
Derivata funcției logaritm natural $\ln(x)$ este: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, pentru $x > 0$. Această formulă arată că rata de schimbare a logaritmului natural este invers proporțională cu valoarea argumentului.
Care este derivata funcției exponențiale?
Derivata funcției exponențiale $e^x$ este: $(e^x)' = e^x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această proprietate unică face ca funcția exponențială să fie egală cu propria sa derivată.
Cum se calculează derivata funcției exponențiale cu bază a?
Derivata funcției exponențiale $a^x$ este: $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$, pentru $a > 0$, $a \neq 1$, și orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă generalizează derivata funcției exponențiale pentru orice bază pozitivă.
Care este derivata funcției sinus?
Derivata funcției sinus este: $(\sin x)' = \cos x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această relație fundamentală în trigonometrie arată legătura strânsă dintre funcțiile sinus și cosinus.
Care este derivata funcției cosinus?
Derivata funcției cosinus este: $(\cos x)' = -\sin x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă demonstrează relația ciclică între funcțiile trigonometrice sinus și cosinus.
Care este derivata funcției tangentă?
Derivata funcției tangentă este: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \tg^2 x + 1$, pentru $\cos x \neq 0$. Această formulă rezultă din aplicarea regulii pentru derivata unui cât și a relațiilor trigonometrice fundamentale.
Care este derivata funcției cotangentă?
Derivata funcției cotangentă este: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, pentru $\sin x \neq 0$. Această formulă este inversul negativ al derivatei funcției tangentă, reflectând relația reciprocă dintre aceste funcții.
Care este derivata funcției arcsinus?
Derivata funcției arcsinus este: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, pentru $x \in (-1, 1)$. Această formulă rezultă din aplicarea derivării implicite și a relațiilor trigonometrice inverse.
Care este derivata funcției arccosinus?
Derivata funcției arccosinus este: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, pentru $x \in (-1, 1)$. Această formulă este opusul derivatei funcției arcsinus, reflectând relația complementară dintre aceste funcții.
Care este derivata funcției arctangentă?
Derivata funcției arctangentă este: $(\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă rezultă din aplicarea derivării implicite și a relațiilor trigonometrice inverse.
Care este derivata funcției arccotangentă?
Derivata funcției arccotangentă este: $(\arcctg x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă este opusul derivatei funcției arctangentă, reflectând relația reciprocă dintre aceste funcții.
Cum se calculează derivata logaritmului în bază a?
Derivata logaritmului în bază a este: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, pentru $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$. Această formulă generalizează derivata logaritmului pentru orice bază pozitivă diferită de 1.