Care este condiția necesară pentru extreme locale conform teoremei lui Fermat?
Conform teoremei lui Fermat, pentru ca o funcție derivabilă să aibă un extrem local în punctul c, derivata funcției în acel punct trebuie să fie zero: $f'(c) = 0$. Aceasta este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru existența extremelor locale.
Ce afirmă teorema lui Rolle despre o funcție continuă și derivabilă?
Teorema lui Rolle afirmă că pentru o funcție f continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), dacă $f(a) = f(b)$, atunci există cel puțin un punct c în (a,b) unde $f'(c) = 0$. Aceasta garantează existența unui punct staţionar între două puncte cu valori egale ale funcției.
Ce relație stabilește teorema lui Cauchy între două funcții derivabile?
Teorema lui Cauchy stabilește că pentru două funcții f și g continue pe [a,b] și derivabile pe (a,b), cu $g'(x) \neq 0$, există c în (a,b) astfel încât: $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Aceasta generalizează teorema valorii medii.
Cum exprimă teorema lui Lagrange creșterea unei funcții pe un interval?
Teorema lui Lagrange (teorema valorii medii) afirmă că pentru o funcție f continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), există c în (a,b) astfel încât $f(b) - f(a) = (b - a) \cdot f'(c)$. Aceasta leagă creșterea funcției de valoarea derivatei într-un punct intermediar.
Cum se aplică regula lui l'Hôpital pentru calculul limitelor nedeterminate?
Regula lui l'Hôpital afirmă că pentru limite de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, dacă există limita raportului derivatelor, atunci: $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$. Aceasta permite transformarea unei limite nedeterminate într-una determinată folosind derivatele funcțiilor.
Care este condiția suficientă pentru ca o funcție să fie convexă?
O funcție f este convexă pe un interval I dacă și numai dacă derivata sa de ordinul doi este strict pozitivă pe acel interval: $f'(x) > 0, \forall x \in I$. Această condiție indică că graficul funcției se află deasupra oricărei tangente la curbă.
Care este condiția suficientă pentru ca o funcție să fie concavă?
O funcție f este concavă pe un interval I dacă și numai dacă derivata sa de ordinul doi este strict negativă pe acel interval: $f'(x) < 0, \forall x \in I$. Această condiție indică că graficul funcției se află sub orice tangentă la curbă.
Ce caracterizează un punct unghiular al unei funcții?
Un punct unghiular al unei funcții f în $x_0$ este caracterizat de continuitate în $x_0$, nederivavilitate în $x_0$, și existența derivatelor laterale $l'_s \neq l'_d$, cu cel puțin una finită. Graficul funcției prezintă o "cotitură" în acest punct.
Ce caracterizează un punct de întoarcere al unei funcții?
Un punct de întoarcere al unei funcții f în $x_0$ este caracterizat de continuitate în $x_0$, nederivavilitate în $x_0$, și derivate laterale infinite de semne opuse: $f'_s(x_0) = \pm\infty, f'_d(x_0) = \mp\infty$. Graficul funcției "se întoarce" în acest punct.
Cum se determină o asimptotă orizontală a unei funcții?
O asimptotă orizontală $y = y_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$. Poate exista la $\pm\infty$, $\mp\infty$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $y = y_0$ pentru valori foarte mari sau foarte mici ale lui x.
Cum se determină o asimptotă verticală a unei funcții?
O asimptotă verticală $x = x_0$ a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$. Poate fi la stânga $(x \to x_0^-)$, la dreapta $(x \to x_0^+)$, sau ambele. Graficul funcției se apropie asimptotic de dreapta $x = x_0$, cu valori ce tind la infinit.
Cum se determină o asimptotă oblică a unei funcții?
O asimptotă oblică y = mx + n a unei funcții f se determină când $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0$, unde m = $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)/x$ și n = $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$. Graficul funcției se apropie asimptotic de această dreaptă pentru valori foarte mari ale lui |x|.
Care este derivata unei funcții constante?
Derivata unei funcții constante c este întotdeauna zero: $(c)' = 0$, pentru orice $c \in \mathbb{R}$. Aceasta înseamnă că rata de schimbare a unei constante este zero, deoarece valoarea sa nu se modifică.
Care este derivata funcției identitate?
Derivata funcției identitate $f(x) = x$ este întotdeauna 1: $(x)' = 1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Aceasta indică o rată de schimbare constantă și uniformă pentru funcția identitate.
Cum se calculează derivata funcției putere cu exponent natural?
Derivata funcției putere $x^n$, unde n este un număr natural nenul, este: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă reduce puterea cu 1 și multiplică cu exponentul original.
Cum se calculează derivata funcției putere cu exponent real?
Derivata funcției putere $x^r$, unde r este un număr real, este: $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$, pentru $x > 0$. Această formulă se aplică pentru orice exponent real, generalizând regula pentru exponenți naturali.
Care este derivata funcției radical?
Derivata funcției radical $\sqrt{x}$ este: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, pentru $x > 0$. Această formulă rezultă din aplicarea regulii generale pentru funcția putere cu exponentul 1/2.
Care este derivata funcției logaritm natural?
Derivata funcției logaritm natural $\ln(x)$ este: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, pentru $x > 0$. Această formulă arată că rata de schimbare a logaritmului natural este invers proporțională cu valoarea argumentului.
Care este derivata funcției exponențiale?
Derivata funcției exponențiale $e^x$ este: $(e^x)' = e^x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această proprietate unică face ca funcția exponențială să fie egală cu propria sa derivată.
Cum se calculează derivata funcției exponențiale cu bază a?
Derivata funcției exponențiale $a^x$ este: $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$, pentru $a > 0$, $a \neq 1$, și orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă generalizează derivata funcției exponențiale pentru orice bază pozitivă.
Care este derivata funcției sinus?
Derivata funcției sinus este: $(\sin x)' = \cos x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această relație fundamentală în trigonometrie arată legătura strânsă dintre funcțiile sinus și cosinus.
Care este derivata funcției cosinus?
Derivata funcției cosinus este: $(\cos x)' = -\sin x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă demonstrează relația ciclică între funcțiile trigonometrice sinus și cosinus.
Care este derivata funcției tangentă?
Derivata funcției tangentă este: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \tg^2 x + 1$, pentru $\cos x \neq 0$. Această formulă rezultă din aplicarea regulii pentru derivata unui cât și a relațiilor trigonometrice fundamentale.
Care este derivata funcției cotangentă?
Derivata funcției cotangentă este: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, pentru $\sin x \neq 0$. Această formulă este inversul negativ al derivatei funcției tangentă, reflectând relația reciprocă dintre aceste funcții.
Care este derivata funcției arcsinus?
Derivata funcției arcsinus este: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, pentru $x \in (-1, 1)$. Această formulă rezultă din aplicarea derivării implicite și a relațiilor trigonometrice inverse.
Care este derivata funcției arccosinus?
Derivata funcției arccosinus este: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, pentru $x \in (-1, 1)$. Această formulă este opusul derivatei funcției arcsinus, reflectând relația complementară dintre aceste funcții.
Care este derivata funcției arctangentă?
Derivata funcției arctangentă este: $(\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă rezultă din aplicarea derivării implicite și a relațiilor trigonometrice inverse.
Care este derivata funcției arccotangentă?
Derivata funcției arccotangentă este: $(\arcctg x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Această formulă este opusul derivatei funcției arctangentă, reflectând relația reciprocă dintre aceste funcții.
Cum se calculează derivata logaritmului în bază a?
Derivata logaritmului în bază a este: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, pentru $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$. Această formulă generalizează derivata logaritmului pentru orice bază pozitivă diferită de 1.
Cum se calculează derivata funcției u la puterea v?
Derivata funcției $u^v$ este: $(u^v)' = u^v \cdot (v' \cdot \ln u + v \cdot \frac{u'}{u})$. Această formulă complexă combină regulile pentru derivarea funcțiilor putere, exponențiale și compuse.
Cum se definește matematic derivata unei funcții într-un punct?
Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca limita $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$, dacă această limită există și este finită. Aceasta reprezintă rata de variație instantanee a funcției în punctul $x_0$.
Cum se raportează derivatele laterale la existența derivatei într-un punct?
Funcția $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă derivatele laterale există și sunt egale: $f'_s(x_0) = f'_d(x_0) = f'(x_0)$. Aceasta asigură că funcția are o tangentă unică în punctul $x_0$.
Cum se calculează derivata sumei a două funcții?
Derivata sumei a două funcții $f$ și $g$ este suma derivatelor lor: $(f + g)' = f' + g'$. Această regulă permite descompunerea derivatelor funcțiilor complexe în componente mai simple.
Cum se calculează derivata produsului unei funcții cu un scalar?
Derivata produsului unei funcții $f$ cu un scalar $\lambda$ este $(\lambda f)' = \lambda f'$. Constanta $\lambda$ poate fi scoasă în fața derivatei, simplificând calculele.
Cum se calculează derivata produsului a două funcții?
Derivata produsului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$. Aceasta reflectă aplicarea regulii produsului în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata câtului a două funcții?
Derivata câtului a două funcții $f$ și $g$ este dată de formula $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Aceasta este o aplicare a regulii câtului în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata unei funcții compuse?
Derivata unei funcții compuse $f \circ u$ este dată de formula $(f \circ u)' = (f' \circ u) \cdot u'$. Aceasta este cunoscută ca regula lanțului și este fundamentală în calculul diferențial.
Cum se calculează derivata funcției inverse?
Derivata funcției inverse $f^{-1}$ este dată de formula $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$. Aceasta permite calculul derivatei funcției inverse cunoscând derivata funcției originale.
Cum se calculează derivata funcției u^n, unde n este un număr natural?
Derivata funcției $u^n$, unde $n$ este un număr natural, se calculează astfel: $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$, unde $n \in \mathbb{N}$.
Cum se calculează derivata funcției u^r, unde r este un număr real?
Derivata funcției $u^r$, unde $r$ este un număr real, se calculează astfel: $(u^r)' = ru^{r-1} \cdot u'$, unde $r \in \mathbb{R}$.
Cum se calculează derivata funcției √u?
Derivata funcției $\sqrt{u}$ se calculează astfel: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $r = 1/2$ în formula generală a funcției putere.
Cum se calculează derivata funcției 1/u?
Derivata funcției $\frac{1}{u}$ se calculează astfel: $(\frac{1}{u})' = -\frac{1}{u^2} \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $r = -1$ în formula generală a funcției putere.
Cum se calculează derivata funcției a^u, unde a este un număr real pozitiv diferit de 1?
Derivata funcției $a^u$, unde $a$ este un număr real pozitiv diferit de 1, se calculează astfel: $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$, unde $a \in \mathbb{R}_+, a \neq 1$.
Cum se calculează derivata funcției e^u?
Derivata funcției $e^u$ se calculează astfel: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $a = e$ în formula generală a funcției exponențiale.
Cum se calculează derivata funcției ln u?
Derivata funcției $\ln u$ se calculează astfel: $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției sin u?
Derivata funcției $\sin u$ se calculează astfel: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției cos u?
Derivata funcției $\cos u$ se calculează astfel: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției tg u?
Derivata funcției $\tg u$ se calculează astfel: $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției ctg u?
Derivata funcției $\ctg u$ se calculează astfel: $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției arcsin u?
Derivata funcției $\arcsin u$ se calculează astfel: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției arccos u?
Derivata funcției $\arccos u$ se calculează astfel: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției arctg u?
Derivata funcției $\arctg u$ se calculează astfel: $(\arctg u)' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției arcctg u?
Derivata funcției $\arcctg u$ se calculează astfel: $(\arcctg u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției sh u?
Derivata funcției $\sh u$ se calculează astfel: $(\sh u)' = \ch u \cdot u'$.
Cum se calculează derivata funcției ch u?
Derivata funcției $\ch u$ se calculează astfel: $(\ch u)' = \sh u \cdot u'$.