Cum se calculează vectorul de poziție al punctului de concurență a trei ceviene într-un triunghi?
Pentru punctul M de concurență a cevienelor AA', BB', CC' în triunghiul ABC, vectorul de poziție este $\vec{r}_M = \frac{k_1\vec{r}_A + k_2\vec{r}_B + k_3\vec{r}_C}{k_1 + k_2 + k_3}$, unde k1, k2, k3 sunt rapoartele de împărțire ale cevienelor.
Care este enunțul teoremei lui Ceva pentru ceviene concurente într-un triunghi?
Teorema lui Ceva afirmă că trei ceviene AA', BB', CC' sunt concurente în triunghiul ABC dacă și numai dacă $\frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} \cdot \frac{AC'}{C'B} = 1$. Această relație oferă o condiție algebrică pentru concurența cevienelor.
Cum se exprimă teorema bisectoarei folosind vectori?
Teorema bisectoarei afirmă că pentru bisectoarea AD în triunghiul ABC, avem relația $\overrightarrow{AD}(b+c) = b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}$, unde b și c sunt lungimile laturilor AC și AB. Aceasta leagă vectorii și lungimile laturilor în triunghi.
Care este prima relație a lui Sylvester pentru triunghiuri?
Prima relație a lui Sylvester afirmă că $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = 2\overrightarrow{HO}$, unde H este ortocentrul și O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Aceasta leagă punctele notabile ale triunghiului.
Care este a doua relație a lui Sylvester pentru triunghiuri?
A doua relație a lui Sylvester afirmă că $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OH}$, unde O este centrul cercului circumscris și H este ortocentrul triunghiului ABC. Aceasta completează prima relație, oferind o perspectivă vectorială asupra geometriei triunghiului.
Care este enunțul teoremei cosinusului?
Teorema cosinusului afirmă că într-un triunghi oarecare ABC: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$, unde a, b, c sunt lungimile laturilor opuse unghiurilor A, B, C respectiv. Această teoremă generalizează teorema lui Pitagora pentru triunghiuri oarecare.
Care este enunțul teoremei sinusurilor?
Teorema sinusurilor afirmă că într-un triunghi oarecare ABC: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, unde a, b, c sunt lungimile laturilor opuse unghiurilor A, B, C respectiv, iar R este raza cercului circumscris triunghiului.
Care este formula lui Neper pentru sinusul jumătății unui unghi?
Formula lui Neper pentru sinusul jumătății unghiului A într-un triunghi este: $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$, unde p este semiperimetrul triunghiului, iar b și c sunt laturile adiacente unghiului A.
Cum se calculează aria unui triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele?
Aria unui triunghi se poate calcula folosind formula: $S = \frac{ab \sin C}{2}$, unde a și b sunt două laturi ale triunghiului, iar C este unghiul dintre ele. Această formulă este utilă când se cunosc două laturi și unghiul format de ele.
Care este formula lui Heron pentru aria unui triunghi?
Formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi este: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde p este semiperimetrul triunghiului (p = (a+b+c)/2), iar a, b, c sunt lungimile laturilor. Această formulă este utilă când se cunosc toate laturile triunghiului.
Cum se calculează lungimea medianei într-un triunghi?
Teorema medianei afirmă că într-un triunghi ABC, lungimea medianei $m_a$ din vârful A se calculează cu formula: $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$, unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului.
Cum se calculează lungimea bisectoarei unui unghi într-un triunghi?
Lungimea bisectoarei $l_a$ a unghiului A într-un triunghi ABC se calculează cu formula: $l_a = \frac{2\sqrt{bc\cdot p(p-a)}}{b+c}$, unde p este semiperimetrul triunghiului, iar a, b, c sunt lungimile laturilor.
Care este relația lui Stewart pentru un punct pe o latură a triunghiului?
Relația lui Stewart afirmă că dacă un punct O împarte latura AC a triunghiului ABC în segmente de lungimi m și n, atunci: $a^2 \cdot m + c^2 \cdot n = b^2 \cdot (m+n) + mn \cdot (m+n)$, unde a = BC, b = AO, c = OC.
Cum se calculează măsura unui unghi exterior al unui triunghi?
Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente lui. Formula: $m(\sphericalangle 4) = m(\sphericalangle 1) + m(\sphericalangle 2)$, unde 4 este unghiul exterior, iar 1 și 2 sunt unghiurile interioare neadiacente.