Cum se definește puterea unui număr întreg cu exponent număr natural?
Puterea unui număr întreg a cu exponent natural n, notată $a^n$, reprezintă produsul a n factori egali cu a: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{de n ori}}$, pentru a ≠ 0 și n > 0.
Pentru n = 0, $a^0 = 1$ pentru orice a ≠ 0.
Cum se înmulțesc două puteri cu aceeași bază?
Când înmulțim puteri cu aceeași bază, adunăm exponenții: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă simplifică calculele cu puteri.
Cum se ridică la putere o putere?
Când ridicăm o putere la o altă putere, înmulțim exponenții: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă este utilă în simplificarea expresiilor cu puteri.
Care este definiția funcției putere cu exponent par?
Funcția putere cu exponent par este definită ca $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n}$, unde $n \in \mathbb{N}^*$ este fixat. Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$ (mulțimea numerelor reale).
Care este inversa funcției putere cu exponent par pe intervalul [0,+∞)?
Pentru $g : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g(x) = x^{2n}$, inversa este funcția radical $g^{-1} : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$. Aceasta stabilește relația dintre funcția putere și funcția radical.
Care sunt proprietățile principale ale funcției putere cu exponent impar?
Funcția putere cu exponent impar $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n+1}$ este impară, strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, bijectivă, cu $\text{Im } f = \mathbb{R}$. Inversa ei este funcția radical $g^{-1}(x) = \sqrt[2n+1]{x}$.
Cum se calculează derivata funcției u^n, unde n este un număr natural?
Derivata funcției $u^n$, unde $n$ este un număr natural, se calculează astfel: $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$, unde $n \in \mathbb{N}$.
Cum se calculează derivata funcției 1/u?
Derivata funcției $\frac{1}{u}$ se calculează astfel: $(\frac{1}{u})' = -\frac{1}{u^2} \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $r = -1$ în formula generală a funcției putere.
Cum se calculează derivata funcției a^u, unde a este un număr real pozitiv diferit de 1?
Derivata funcției $a^u$, unde $a$ este un număr real pozitiv diferit de 1, se calculează astfel: $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$, unde $a \in \mathbb{R}_+, a \neq 1$.
Cum se calculează derivata funcției e^u?
Derivata funcției $e^u$ se calculează astfel: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $a = e$ în formula generală a funcției exponențiale.
Cum se definesc puterile cu exponent întreg negativ?
Puterile cu exponent întreg negativ se definesc ca $c^{-n} = \frac{1}{c^n}$, unde $c \in \mathbb{R}^*$ și $n \in \mathbb{N}^*$. Această definiție extinde conceptul de putere la exponenți negativi.
Cum se definesc puterile cu exponent rațional?
Pentru $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $n \ge 2$, puterile cu exponent rațional se definesc ca $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Aceasta extinde conceptul de putere la numere raționale.
Care este valoarea aproximativă a logaritmului natural al lui 2 și unde apare frecvent?
Logaritmul natural al lui 2, notat $\ln(2)$, are valoarea aproximativă $0,69314$.
Această constantă apare frecvent în calcule care implică creștere exponențială și este importantă în teoria informației și alte domenii ale matematicii aplicate.
Cum se calculează puterea n a unei fracții?
Puterea n a unei fracții se calculează prin formula: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, unde $n$ este exponentul puterii.
Cum se calculează produsul de puteri cu aceeași bază?
Produsul de puteri cu aceeași bază se calculează prin formula: $\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$, adunând exponenții.
Cum se calculează puterea la putere pentru fracții?
Puterea la putere pentru fracții se calculează prin formula: $\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n}$, înmulțind exponenții.
Cum se împart puterile cu aceeași bază?
Pentru $a \in \mathbb{R}^*_+$ și $x, y \in \mathbb{Q}$, împărțirea puterilor cu aceeași bază se face astfel: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.
Cum se calculează puterea unui produs?
Pentru $a, b \in \mathbb{R}^*_+$ și $x \in \mathbb{Q}$, puterea unui produs se calculează astfel: $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$.
Cum se calculează puterea unui cât?
Pentru $a, b \in \mathbb{R}^*_+$ și $x \in \mathbb{Q}$, puterea unui cât se calculează astfel: $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$.