Q: Care este inversa funcției putere cu exponent par pe intervalul [0,+∞)?

Pentru $g : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g(x) = x^{2n}$, inversa este funcția radical $g^{-1} : [0,+\infty) \to [0,+\infty), g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$. Aceasta stabilește relația dintre funcția putere și funcția radical.

Q: Care sunt proprietățile principale ale funcției putere cu exponent impar?

Funcția putere cu exponent impar $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2n+1}$ este impară, strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, bijectivă, cu $\text{Im } f = \mathbb{R}$. Inversa ei este funcția radical $g^{-1}(x) = \sqrt[2n+1]{x}$.

Question 1

14 Întrebări despre puteri

Question 2

Cum se definește puterea unui număr întreg cu exponent număr natural?

Accepted Answer

Puterea unui număr întreg a cu exponent natural n, notată $a^n$, reprezintă produsul a n factori egali cu a: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{ ext{de n ori}}$, pentru a ≠ 0 și n > 0.
Pentru n = 0, $a^0 = 1$ pentru orice a ≠ 0.

Question 3

Cum se înmulțesc două puteri cu aceeași bază?

Accepted Answer

Când înmulțim puteri cu aceeași bază, adunăm exponenții: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă simplifică calculele cu puteri.

Question 4

Cum se ridică la putere o putere?

Accepted Answer

Când ridicăm o putere la o altă putere, înmulțim exponenții: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n.
Această regulă este utilă în simplificarea expresiilor cu puteri.

Question 5

Care este definiția funcției putere cu exponent par?

Accepted Answer

Funcția putere cu exponent par este definită ca $f : \mathbb{R} 	o \mathbb{R}, f(x) = x^{2n}$, unde $n \in \mathbb{N}^*$ este fixat. Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$ (mulțimea numerelor reale).

Question 6

Care este inversa funcției putere cu exponent par pe intervalul [0,+∞)?

Accepted Answer

Pentru $g : [0,+\infty) 	o [0,+\infty), g(x) = x^{2n}$, inversa este funcția radical $g^{-1} : [0,+\infty) 	o [0,+\infty), g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$. Aceasta stabilește relația dintre funcția putere și funcția radical.

Question 7

Care sunt proprietățile principale ale funcției putere cu exponent impar?

Accepted Answer

Funcția putere cu exponent impar $f : \mathbb{R} 	o \mathbb{R}, f(x) = x^{2n+1}$ este impară, strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, bijectivă, cu $	ext{Im } f = \mathbb{R}$. Inversa ei este funcția radical $g^{-1}(x) = \sqrt[2n+1]{x}$.

Question 8

Cum se calculează derivata funcției u^n, unde n este un număr natural?

Accepted Answer

Derivata funcției $u^n$, unde $n$ este un număr natural, se calculează astfel: $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$, unde $n \in \mathbb{N}$.

Question 9

Cum se calculează derivata funcției 1/u?

Accepted Answer

Derivata funcției $\frac{1}{u}$ se calculează astfel: $(\frac{1}{u})' = -\frac{1}{u^2} \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $r = -1$ în formula generală a funcției putere.

Question 10

Cum se calculează derivata funcției a^u, unde a este un număr real pozitiv diferit de 1?

Accepted Answer

Derivata funcției $a^u$, unde $a$ este un număr real pozitiv diferit de 1, se calculează astfel: $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$, unde $a \in \mathbb{R}_+, a 
eq 1$.

Question 11

Cum se calculează derivata funcției e^u?

Accepted Answer

Derivata funcției $e^u$ se calculează astfel: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aceasta este obținută în particular pentru $a = e$ în formula generală a funcției exponențiale.

Question 12

Ce este ridicarea la putere naturală a numerelor reale?

Accepted Answer

Pentru $a \in \mathbb{R}^*$ și $n \in \mathbb{N}^*$, ridicarea la putere naturală se definește ca $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n 	ext{ factori}}$. Pentru $n = 0$, prin convenție, $a^0 = 1$.

Question 13

Cum se definesc puterile cu exponent întreg negativ?

Accepted Answer

Puterile cu exponent întreg negativ se definesc ca $c^{-n} = \frac{1}{c^n}$, unde $c \in \mathbb{R}^*$ și $n \in \mathbb{N}^*$. Această definiție extinde conceptul de putere la exponenți negativi.

Question 14

Cum se definesc puterile cu exponent rațional?

Accepted Answer

Pentru $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $n \ge 2$, puterile cu exponent rațional se definesc ca $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Aceasta extinde conceptul de putere la numere raționale.

Question 15

Care este valoarea aproximativă a logaritmului natural al lui 2 și unde apare frecvent?

Accepted Answer

Logaritmul natural al lui 2, notat $\ln(2)$, are valoarea aproximativă $0,69314$.
Această constantă apare frecvent în calcule care implică creștere exponențială și este importantă în teoria informației și alte domenii ale matematicii aplicate.

Descriere	Formula
Puterea cu exponent natural	$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{de n ori}}$
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Ridicarea la putere a unei puteri	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Funcția putere cu exponent par	$f(x) = x^{2n}$
Inversa funcției putere cu exponent par	$g^{-1}(x) = \sqrt[2n]{x}$
Funcția putere cu exponent impar	$f(x) = x^{2n+1}$
Derivata funcției compuse cu exponent natural	$(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u', n \in \mathbb{N}$
Derivata funcției compuse inversă	$(\frac{1}{u})' = -\frac{1}{u^2} \cdot u'$
Derivata funcției compuse exponențială	$(a^u)' = a^u \ln a \cdot u', a \in \mathbb{R}_+, a \neq 1$
Derivata funcției compuse exponențială cu baza e	$(e^u)' = e^u \cdot u'$
Putere cu exponent natural	$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ factori}}$
Putere cu exponent întreg negativ	$c^{-n} = \frac{1}{c^n}$
Putere cu exponent rațional	$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
Logaritmul natural al lui 2	$\ln(2) \approx 0,69314$

14 Formule pentru puteri disponibile

Tabel formule puteri:

Vezi mai multe formule:

Formule de puteri adăugate recent:

Puterea cu exponent natural

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

Ridicarea la putere a unei puteri

Începe să reții formulele și conceptele avansate mult mai repede

4 Memoratoare disponibile care te pot ajuta să înveți mai repede

Inducție Matematică și Probleme Simple de Numărare

Mulțimea Numerelor Întregi

Funcții Putere, Radical și Ecuații

Derivatele Funcțiilor Elementare și Compuse